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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 13 07. 2020 14:37 #72895

Michael D. schrieb: Die ist ja nicht flach im Gravitationsfeld.

Das ist natürlich richtig. Aber das ist bei den Landkarten auch so. Man zeichnet die Luftlinien und nicht die wahren Entfernungen, alles anderes wäre chaotisch. Dass die Krümmung der Weltkugel dies unmöglich macht, wäre nicht Thema der ART von Gravizentren sondern der Kosmologie und einer Krümmung des Universums. ART wie wir sie hier betreiben, beschäftigt sich nur mit lokalen Krümmungen, also vornehmlich mit den Tälern, aber ob Berg oder außen herum Tal ist letztlich eine Festlegung des Nullpotentials. Ein Pendant zu Bergen (zentrale Abstoßung) gibt es in der ART ohnehin gar nicht.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 13 07. 2020 20:13 #72905

Michael D. schrieb:
Arrakai schrieb: Dass die Eigenzeit lorentzinvariant sein muss, ist doch schon quantitativ leicht einzusehen...

Bitte einen mathematischen Beweis liefern. Für das Wegelement ds ist er allgemein bekannt.


Ich würde mal sagen, ebenso für Eigenzeit und z,B. Ruhemasse. Wenn das Wegelement lorentzinvariant ist, dann muss es auch die Eigenzeit sein. In der SRT folgt das unmittelbar aus \( d\tau^2 = ds^2 \) (mit c=1). Für die ART gilt es damit lokal ebenfalls. Für kleine r gilt es auch näherungsweise in der Schwarzschildmetrik.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 13 07. 2020 20:28 #72906

Arrakai schrieb: Wenn das Wegelement lorentzinvariant ist, dann muss es auch die Eigenzeit sein. In der SRT folgt das unmittelbar aus \( d\tau^2 = ds^2 \) (mit c=1).

-c²dτ²=ds² gilt immer, nicht nur lokal etc.
Eine andere Frage ist die, dass bei dr² > 0 immer integriert werden müßte, da die Metrik von r abhängt.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 13 07. 2020 21:10 #72908

ra-raisch schrieb:
Arrakai schrieb: Wenn das Wegelement lorentzinvariant ist, dann muss es auch die Eigenzeit sein. In der SRT folgt das unmittelbar aus \( d\tau^2 = ds^2 \) (mit c=1).

-c²dτ²=ds² gilt immer, nicht nur lokal etc.
Eine andere Frage ist die, dass bei dr² > 0 immer integriert werden müßte, da die Metrik von r abhängt.


Ja klar gilt das immer. Aber es ist halt SRT. Da die ART eine lokale Theorie ist, ist das eben auch nur lokal zwingend richtig. Bei Schwarzschild muss g00 halt vernachlässigbar sein (d.h. g00 → 1), dann passt es m.E. mit dem Integrieren:

\( \Delta \tau = \int \sqrt{ds^2} = \int \sqrt{ g_{00}} dt \)

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 09:10 #72913

Arrakai schrieb: Ich würde mal sagen, ebenso für Eigenzeit und z,B. Ruhemasse. Wenn das Wegelement lorentzinvariant ist, dann muss es auch die Eigenzeit sein.

So, würdest Du das mal sagen. Und das soll überzeugen?

Richtig ist:

\(ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2=-c^2dt'^2+dx'^2+dy'^2+dz'^2=ds'^2\)

Ich würde mal sagen, Du musst die Ortskomponenten mitberücksichtigen damits lorentzinvariant wird. ;)

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 09:24 #72914

Michael D. schrieb:
Arrakai schrieb: Ich würde mal sagen, ebenso für Eigenzeit und z,B. Ruhemasse. Wenn das Wegelement lorentzinvariant ist, dann muss es auch die Eigenzeit sein.

So, würdest Du das mal sagen. Und das soll überzeugen?

Richtig ist:

\(ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2=-c^2dt'^2+dx'^2+dy'^2+dz'^2=ds'^2\)

Ich würde mal sagen, Du musst die Ortskomponenten mitberücksichtigen damits lorentzinvariant wird. ;)


Nö. Ich glaube sogar, dass wir hier den Kern deines Missverständnisses gefunden haben. Wenn du von Eigenzeit sprichst, dann gilt dx^2 = 0 (ich bezeichne damit der Einfachheit halber die komplette Ortskoponrnte). Dss ist rein mathematisch betrachtet sogar eine gut geeignete Definition für Eigenzeit. (wenn nicht die Definition...).

PS.: Weshalb liest du es nicht einfach mal nach?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 09:31 #72915

Arrakai schrieb: Nö. Ich glaube sogar, dass wir hier den Kern deines Missverständnisses gefunden haben. Wenn du von Eigenzeit sprichst, dann gilt dx^2 = 0. Dss ist rein mathematisch betrachtet sogar eine gut geeignete Definition für Eigenzeit. (wenn nicht die Definition...).

Na dann zeig mal den mathematischen Beweis dass die Eigenzeit allein lorentzinvariant ist. Oder zeig mir die Stelle in der Literatur.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 11:27 #72916

Michael D. schrieb:
Arrakai schrieb: Nö. Ich glaube sogar, dass wir hier den Kern deines Missverständnisses gefunden haben. Wenn du von Eigenzeit sprichst, dann gilt dx^2 = 0. Dss ist rein mathematisch betrachtet sogar eine gut geeignete Definition für Eigenzeit. (wenn nicht die Definition...).

Na dann zeig mal den mathematischen Beweis dass die Eigenzeit allein lorentzinvariant ist. Oder zeig mir die Stelle in der Literatur.


Was soll das Ganze? Die Eigenzeit ist ein Lorenz-Skalar, das kannst du überall nachlesen. Weshalb verschwendest du Zeit, um so etwas selbstverständliches und leicht recherchierbares abzustreiten?

Ein letztes Mal: Meine Antwort oben zeigt es für die SRT, bei der ist es geradezu trivial. Zumindest unter bestimmten Befingungen habe ich es auch für die Schwarzschildlösung gezeigt (sehr kleine r). Den Rest findest du sicher, falls du ernsthaft suchst.

Oder lies einfach selbst nach, z.B. als Einstieg wie fast immer gut geeignet: en.wikipedia.org/wiki/Proper_time

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 11:32 #72917

Arrakai schrieb: Was soll das Ganze? Die Eigenzeit ist ein Lorenz-Skalar, das kannst du überall nachlesen.

Ich meine nicht das Integral. Ich meine die differentielle Eigenzeit.

Zumindest unter bestimmten Befingungen habe ich es auch für die Schwarzschildlösung gezeigt (sehr kleine r). Den Rest findest du sicher, falls du ernsthaft suchst.

Du hast gar nichts gezeigt. Hier geht es um die differentielle Eigenzeit. Die ist schlicht nicht lorentzinvariant.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 11:48 #72919

Michael D. schrieb:
Arrakai schrieb: Was soll das Ganze? Die Eigenzeit ist ein Lorenz-Skalar, das kannst du überall nachlesen.

Ich meine nicht das Integral. Ich meine die differentielle Eigenzeit.


Oben ging es um beides. Entlang einer Weltlinie wirst du das Integral allerdings nicht vermeiden können.

\( \Delta \tau = \int \sqrt{ g_{00}} dt \)

Michael D. schrieb: Du hast gar nichts gezeigt. Hier geht es um die exakte differentielle Eigenzeit der Schwarzschild-Metrik. Die ist schlicht nicht lorentzinvariant.


Für hinreichend (sehr sehr) kleine r ist sie lorentzinvariant, mehr wollte und kann ich nicht zeigen. Es sollte immer für infinitesimal kleine Abstände gelten, denn dann gilt auch die SRT. Mehr kannst du von einer lokalen Theorie sowieso nicht erwarten.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 11:57 #72920

Lassen wir das mal so stehen. Die Lorentzinvarianz der Eigenzeit beantwortet leider die Ausgangsfrage des Threads nicht.

Zurück zur Ausgangsfrage: Wie mache ich aus einer verkürzten Eigenzeit eine Zeitdilatation?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:05 #72921

Es wird wohl kein Zweifel bestehen, dass mit dr=0 (Unbeweglichkeit) die Ortszeit und mit dt=0 (Gleichzeitigkeit) die Eigenlänge definiert werden kann.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:08 #72922

ra-raisch schrieb: Es wird wohl kein Zweifel bestehen, dass mit dr=0 die Ortszeit und mit dt=0 die Eigenläng definiert werden kann.

Es gilt aber zweifellos:

\(d\tau=\sqrt{1-\Large\frac{r_s}{r}}dt\)

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:09 #72923

Michael D. schrieb: Na dann zeig mal den mathematischen Beweis dass die Eigenzeit allein lorentzinvariant ist. Oder zeig mir die Stelle in der Literatur.

Michael D. schrieb:
ra-raisch schrieb: Es wird wohl kein Zweifel bestehen, dass mit dr=0 die Ortszeit und mit dt=0 die Eigenläng definiert werden kann.

Es gilt aber zweifellos:

\(d\tau=\sqrt{1-\Large\frac{r_s}{r}}dt\)

Eben und Eigenlänge sowie Eigenzeit sind Invarianten, weil sie eben universell definiert sind. Genauso kann ich die Zeit und die Länge in der flachen Raumzeit oder die Werte bei rs (was sinnlos wäre) als Norm festlegen, üblich sind es aber Eigenlänge und Eigenzeit, weil sich die meisten Physiker für das lokale Geschehen interessieren und weniger dafür, wie es aus der Ferne aussieht. Mich persönlich interessiert zwar eher der Überblick von außen, in der Kosmologie ebenso wie in dem Mikrokosmos können wir ja auch nur von außen messen.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:12 #72924

ra-raisch schrieb: Eben und Eigenlänge sowie Eigenzeit sind Invarianten, weil sie eben universell definiert sind.

So so. Die Eigenzeit ist schonmal vom Ort bzw. Radius abhängig. Korrekt?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:15 #72925

Michael D. schrieb:
ra-raisch schrieb: Eben und Eigenlänge sowie Eigenzeit sind Invarianten, weil sie eben universell definiert sind.

So so. Die Eigenzeit ist schonmal vom Ort bzw. Radius abhängig. Korrekt?

Von außen gesehen schon, das ist das Problem bei den Bezeichnungen.

Das ist wie bei der SRT, die Zeitdilatation (sowie Lorentzkontraktion) gibt es nur von außen gesehen, sie wird für die Koordinatentransformation benötigt, sagt aber gar nichts über die örtlichen Verhältnisse aus. Lokal merkst Du nichts davon, die eigene Uhr tickt wie immer. Andere Uhren mögen schneller oder langsamer ticken, das schon.

Aber alle Beobachter sind sich darüber einig, wie oft Deine Uhr zwischen zwei Ereignissen an Deinem Ort (dr=0) getickt hat. In der SRT weichen die Beobachtungen über Zeitintervall und Ort der beiden Ereignisse von einander ab, aber die Differenz ds²=-c²dτ²=dr²-c²dt² bleibt invariant.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:19 #72926

ra-raisch schrieb: Von außen gesehen schon, das ist das Problem bei den Bezeichnungen.

Nein. Lokal. Der Metrik-Tensor ist lokal. Korrekt?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:22 #72927

Michael D. schrieb:
ra-raisch schrieb: Von außen gesehen schon, das ist das Problem bei den Bezeichnungen.

Nein. Lokal. Der Metrik-Tensor ist lokal. Korrekt?

Der Metriktensor hat für verschiedene r andere Werte für σ, das ist klar.

Vielleicht sollten wir statt "r" von "z" sprechen, um Parameter des Ortes r von der radialen Länge z zu unterscheiden....hmm....z steht dann eher für Drehachse, aber Höhe "h" wäre gut.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:27 #72928

ra-raisch schrieb: Der Metriktensor hat für verschiedene r andere Werte für σ, das ist klar.

Gut. Konsens.
ra-raisch schrieb: Vielleicht sollten wir statt "r" von "z" sprechen, um Parameter des Ortes von Länge zu unterscheiden.

Nein. "r" ist eine Länge. Wir bleiben dabei.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:40 #72929

Das Problem ist, dass Ortsvektor r¹ und r als Koordinatenabstand vom Zentrum bereits doppelt besetzt ist.
Für die Eigenlänge gibt es L aber für den radialen Raumabstand verwende ich meist s oder r' und da werde ich nun stattdessen h benützen, dann gibt es keine Verwechslung mehr mit ds oder dr oder dR. Denn R=∫1/σ kann dann wie allgemein üblich der physikalische Abstand sein, den ich auch schon mit r" bezeichnet habe.

Das Wirrwarr sollte durch unterschiedliche Bezeichnungen möglichst gelichtet werden. Aber lass Dich nicht stören, ich werde sehen, ob das eine Verbesserung wird.

r Koordinatenradius
R = ∫1/σ dr physikalischer Radius bisher r"
Lr = ℓr/σ Eigenlänge in radialer Richtung
ℓ Messung aus der flachen Raumzeit
h = dr/σ lokaler radialer Abstand bisher r'
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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:50 #72930

Wichtig ist nur der Bruch \(\Large\frac{r_s}{r}\). Da können wir auch beim Radius bleiben. Sonst müssten wir den Schwarzschild-Radius auch entsprechend ersetzen. Am Ende steht da eh nur ne Zahl.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 14 07. 2020 12:53 #72931

Michael D. schrieb: Wichtig ist nur der Bruch \(\frac{r_s}{r}\). Da können wir auch beim Radius bleiben. Am Ende steht da eh nur ne Zahl.

Genau das wollte ich auch nicht ändern. Hier ist es ja die Ortsbezeichnung und keine Länge in dem Sinne, auch den Rest vom Linienelement nicht, weil es ja die Koordinatengrößen beinhaltet. Aber beim Ergebnis für lokale Größen werde ich wohl h benützen, das soll gerade den Unterschied zu den Koordinatengrößen im Linienelement unterschreichen.

τ ist ja auch so eine Doppelbezeichnung, weil es einerseits die Eigenzeit und andererseits oft auch die Ortszeit t' bezeichnet.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 15 07. 2020 08:52 #72958

Wir müssen immer noch aus einer Zeitverkürzung eine Zeitdilatation machen, wie sie aus der SRT bekannt ist. Das heisst, Uhren müssen langsamer und nicht schneller gehen:

\(d\tau=\sqrt{1-\Large\frac{r_s}{r}}dt\)

Kleiner Tipp von mir: In schwachen Gravitationsfelden kann die Zeitdilatation näherungsweise durch das Newtonsche Gravitationspotential \(\phi\) beschrieben werden:

\(d\tau=\sqrt{1+\Large\frac{2\phi}{c^2}}dt\)

Und Schwupps!!! Aus dem "-" ist ein "+" geworden und alles ist gut. :)

Ok, Spass beiseite. Ich hab mal testweise die Schwarzschild-Metrik einfach "umgedreht", d.h. aus der Zeitkontraktion eine Zeitdilatation und aus der Längendehnung eine Längenkontraktion gemacht ("MichaelD-Metrik"):

\(ds^2 =-\Large\frac{1}{1-\Large\frac{r_s}{r}}\normalsize dt^2+(1-\Large\frac{r_s}{r})\normalsize dr^2+...\)

Das Problem ist hier, dass diese Metrik eine Ricci-Krümmung aufweist und somit Ruheenergie/-masse beinhaltet. Ein Schelm wer denkt, er könnte dadurch Dunkle Materie erklären. :evil:

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 15 07. 2020 13:23 #72967

Michael D. schrieb: In schwachen Gravitationsfelden kann die Zeitdilatation näherungsweise durch das Newtonsche Gravitationspotential \(\phi\) beschrieben werden:

\(d\tau=\sqrt{1+\Large\frac{2\phi}{c^2}}dt\)

Das ist eine vollkommen exakte Lösung.
Michael D. schrieb: ("MichaelD-Metrik"):
\(ds^2 =-\Large\frac{1}{1-\Large\frac{r_s}{r}}\normalsize dt^2+(1-\Large\frac{r_s}{r})\normalsize dr^2+...\)

Diese Gleichung habe ich gestern auch aufgestellt, man kann hier die lokal gemessenen Koordinaten τ=t' und R=r' einsetzen und erhält die Koordinatengrößen bzw den Koordinatenabstand D der flachen Raumzeit.
\(\text{d}D^2 = -c²\text{d}t²+\text{d}r²+r^2\text{d}\Omega^2 = -\tfrac{c^2}{1-\tfrac{r_s}{r}}\text{d}\tau^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\text{d}R^2+r^2\text{d}\Omega^2\)

Yukterez hat mich darauf hingewiesen, dass das porfessionell über die Tetraden (Vierbein) gemacht wird
d-nb.info/981270298/34#page=17
Michael D. schrieb: Das Problem ist hier, dass diese Metrik eine Ricci-Krümmung aufweist und somit Ruheenergie/-masse beinhaltet. Ein Schelm wer denkt, er könnte dadurch Dunkle Materie erklären. :evil:

Kannst Du das erläutern?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 15 07. 2020 13:39 #72968

ra-raisch schrieb: \(d\tau=\sqrt{1+\Large\frac{2\phi}{c^2}}dt\)
Das ist eine vollkommen exakte Lösung.

Nein. Das ist eine Näherungslösung. Ja, da hast Du recht. Aber auch die Schwarzschild-Lösung ist exakt.
ra-raisch schrieb:
Michael D. schrieb: ("MichaelD-Metrik"):
\(ds^2 =-\Large\frac{1}{1-\Large\frac{r_s}{r}}\normalsize dt^2+(1-\Large\frac{r_s}{r})\normalsize dr^2+...\)

Diese Gleichung habe ich gestern auch aufgestellt, man kann hier die lokal gemessenen Koordinaten einsetzen und erhält die Koordinatengrößen bzw den Koordinatenabstand D der flachen Raumzeit.

Das Problem ist nur, die MichaelD-Metrik ist im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik nicht flach.

Kannst Du das erläutern?

Die MichaelD-Metrik ist nicht flach. Glaub mir, ich hab das mit meinem Tensor-Programm überprüft.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 15 07. 2020 13:42 #72969

Michael D. schrieb: Die MichaelD-Metrik ist nicht flach. Glaub mir, ich hab das mit meinem Tensor-Programm überprüft.

Naja Du setzt ja auch dr und dt ein, ich setze aber dτ und dR ein. Für dt und dr ist dann r=∞

Nein. Das ist eine Näherungslösung. Die Schwarzschild-Lösung ist exakt.
Nein, das ist genauso exakt, denn -2Φ/c²=rs/r, glaubs mir.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 15 07. 2020 13:54 #72971

ra-raisch schrieb:
Michael D. schrieb: Die MichaelD-Metrik ist nicht flach. Glaub mir, ich hab das mit meinem Tensor-Programm überprüft.

Naja Du setzt ja auch dr und dt ein, ich setze aber dτ und dR ein. Für dt und dr ist dann r=∞

Ich setz da gar nichts ein. Ich tippe die Metrik ein und mein Tensorprgragramm spuckt aus, ob die Metrik flach ist oder nicht. Fertig. Sie ist nicht flach.
ra-raisch schrieb: Nein, das ist genauso exakt, denn -2Φ/c²=rs/r, glaubs mir.

Bei Wikipedia steht "näherungsweise". Ist aber egal. Das Problem mit dem negativen Vorzeichen in der Schwarzschild-Metrik bleibt bestehen.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 15 07. 2020 15:37 #72976

Michael D. schrieb: Bei wikipedia steht "näherungsweise". Ist aber ega

Ja bei wiki schreiben die das gerne, das sind meist die, die dann aber statt 1/²(1-rs/r) lieber taylorgenähert ≈(1+rs/2r) schreiben.

Gemeint ist mit dem "näherungsweise", dass es sich um eine ideale Lösung handelt, weil sich jeder reale Himmelskörper ein bisschen dreht, es keine homogene exakte Kugeln sind etc.....und ich habe es vorerst aufgegeben, das zu korrigieren.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 15 07. 2020 16:19 #72980

Michael D. schrieb: Wir müssen immer noch aus einer Zeitverkürzung eine Zeitdilatation machen, wie sie aus der SRT bekannt ist.

Weil das Längenmaß radial größer wird (in der SRT aber in Bewegungsrichtung kleiner), muss in der ART der "magische Faktor", wie Josef Gaßner ihn nennt
\(\sqrt{1-\Large\frac{r_s}{r}}\)
immer kleiner 1 sein, im Unterschied zum Lorenzfaktor der SRT. Gaßner erklärt diesen Unterschied genau hier . Zitat: "Müssen wir aufpassen [...] Da [SRT] hatten wir ja auch 1 durch diesen Faktor".

Teilen wir durch den Faktor auch in der ART, dann bekommen wir z.B. einen "Shapirofaktor", nennen wir ihn mit Rainer mal σ:
\(σ = \frac{1}{\sqrt{1-\Large\frac{r_s}{r}}}\)
Der Lorenzfaktor γ > 0 in der SRT dehnt sozusagen das Zeitmaß t des ruhenden Beobachters: τ = γ∙t
Der "Shapirofaktor" σ > 0 In der ART dehnt sozusagen das Zeitmaß τ des Beobachters im Potenzial: t = σ∙τ

Beides bedeutet eine Zeitdilatation bezüglich t.
Der Unterschied ergibt sich wie gesagt daraus, dass sich die Längen anders verhalten. Weil die Dimension der Geschwindigkeit nun mal m/s ist und die LG konstant ist in allen IS, muss man auch die Zeitdilatation jeweils anders ausdrücken, wenn der Meter lokal länger bzw. kürzer wird.
Edit: Gestrichen wegen Rainers Einwand unten. Natürlich meinte ich die LG im Vakuum.

Also sprach das Photon: Wo wir sind ist vorne! Und sollten wir mal hinten sein, dann ist hinten vorne!

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Also sprach das Photon: Wo wir sind ist vorne! Und sollten wir mal hinten sein, dann ist hinten vorne!

Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 15 07. 2020 18:58 #72986

Steinzeit-Astronom schrieb: Weil die Dimension der Geschwindigkeit nun mal m/s ist und die LG konstant ist in allen IS, muss man auch die Zeitdilatation jeweils anders ausdrücken, wenn der Meter lokal länger bzw. kürzer wird.

Die Lichtgeschwindigkeit wird von der Zeitdilatation bestimmt und nicht umgekehrt. Die gravit.Zeitdilatation ergibt sich aus dem Potential und sonst nichts.
σ = ²(1+2Φ/c²)
Die andernen üblicheren Formeln setzen eine Vakuumlösung voraus.

Bei der Längenkontraktion ist das viel komplizierter...oder auch einfacher, wenn man so will. Nennen wir den Faktor ρ
ρ = ²(1-rsr/r) mit rsr=2G·Mr/c² und Mr die kugelsymmetrisch verteilte Masse innerhalb von r.
Asymmetrische Massenverteilung außerhalb von r wäre aber auch zu berücksichtigen.

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