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THEMA: Noether-Theorem: Ladungserhaltung

Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 18:38 #60538

Michael D. schrieb: Auf der x-Achse ist erstmal nur der Ort.

Die Schraubenform läßt sich in Rotation und Translation aufspalten. Eine Änderung des Ortes ist eine Bewegung. Hinsichtlich der Rotation in der imaginären Ebene ist der Ort äquivalent zur Zeit, nach der Strecke ct ist die Zeit t vergangen. Aus der Roation ergibt sich ein Axialvektor. Da die Ladung keine räumliche Richtung ausweist, scheidet ein räumlicher Vektor aus. Erst durch die räumliche Bewegung ergibt sich auch ein räumlicher Vektor, der das Magnetfeld erzeugt. Fazit: ein zeitlicher Axialvektor der Ladung, also plus oder minus, je nach Rotationsrichtung, was man ja auch messen kann.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 20:07 #60550

ra-raisch schrieb: Fazit: ein zeitlicher Axialvektor der Ladung, also plus oder minus, je nach Rotationsrichtung, was man ja auch messen kann.

Wenn schon, dann ein raumzeitlicher Axialvektor der Ladung (Rechte-Linke-Hand-Regel). Jetzt kommt aber die nächste Stufe, nämlich wenn die imaginäre Phasenverschiebung \(\alpha\) vom jeweiligen Raumzeitpunkt \(x\) abhängt, also \(\alpha(x)\). Dann haben wir nur noch eine lokale U(1)-Phasentransformation. Anscheinend ist die Ladung allein dann keine Erhaltungsgrösse mehr.

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 21:08 #60558

Ferragus schrieb: Man kann über die kovarianten Ableitung der Basisvektoren ein sog. Vektorpotential A definieren (Vorsicht, das hat erst mal noch nichts mit EM zu tun):
\( D_{\mu}e_j = A^k_{\mu j} e_k .\)

Ok dann ist e eine Art Feldvektor. Der war plötzlich da. Weiter oben dachte ich, meintest Du entweder die Gausssche Zahl e oder die Elementarladung e und A ist jetzt auch klarer.
Allerdings fehlt in dieser Gleichung die normale Ableitung. Ist das ein Schreibfehler oder soll das sein.

Über den Rest denke ich noch nach.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 21:31 #60561

Hier mal der Vergleich der globalen und der lokalen U(1)-Eichtransformation:

global: \(\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha}\psi(x)\) abgeleitet: \(\frac{\partial\psi(x)}{\partial x_\mu} \rightarrow e^{i\alpha}\frac{\partial\psi(x)}{\partial x_\mu}\) , passiert gar nichts, ich zieh die Konstante einfach vor die Ableitung

lokal: \(\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)}\psi(x)\) abgeleitet: \(\frac{\partial\psi(x)}{\partial x_\mu} \rightarrow \frac{\partial}{\partial x_\mu}\left(e^{i\alpha(x)}\psi(x)\right)=e^{ia(x)}\left(i\frac{\partial a(x)}{\partial x_\mu}+\frac{\partial}{\partial x_\mu}\right)\psi(x)\), Produktregel greift!

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 22:04 #60566

Michael D. schrieb: wenn die imaginäre Phasenverschiebung \(\alpha\) vom jeweiligen Raumzeitpunkt \(x\) abhängt, also \(\alpha(x)\). Dann haben wir nur noch eine lokale U(1)-Phasentransformation. Anscheinend ist die Ladung allein dann keine Erhaltungsgrösse mehr.

Aber wieso sollte es denn vom Raumzeitpunkt abhängen. Es geht doch nur um die Drehrichtung (Vorzeichen der Ableitung) und nicht um den Zeitpunkt oder den Ort.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 08 Nov 2019 08:29 #60576

Manfred S schrieb:

Ferragus schrieb: Man kann über die kovarianten Ableitung der Basisvektoren ein sog. Vektorpotential A definieren (Vorsicht, das hat erst mal noch nichts mit EM zu tun):
\( D_{\mu}e_j = A^k_{\mu j} e_k .\)

Ok dann ist e eine Art Feldvektor. Der war plötzlich da. Weiter oben dachte ich, meintest Du entweder die Gausssche Zahl e oder die Elementarladung e und A ist jetzt auch klarer.
Allerdings fehlt in dieser Gleichung die normale Ableitung. Ist das ein Schreibfehler oder soll das sein.

Über den Rest denke ich noch nach.


Hallo Manfred,

stimmt, das potentielle Missverständnis habe ich übersehen :) hier (nur hier) bezeichnet \( e_j \) ein Feld von Basisvektoren. Ich wollte aber eig nur kurz skizzieren, dass die kovarianten Ableitungen dieselbe Form haben. Das in der Gleichung ist übrigens kein Schreibfehler, aber ich denk das schafft im Rahmen dieses Threads eher Verwirrung da jetzt drauf einzugehen. Dazu kann ich aber sehr das Buch "Gauge Fields, Knote and Gravity" empfehlen.

Weiter oben war das e tatsächlich die Elementarladung. A priori kommt das als Noetherladung aus der U(1)-Symmetrie, ist aber tatsächlich die Ladung des EM Feldes. Das sieht man so: a) Das Feld A, das hier als Zusammenhangs-1-Form auftaucht, hat einen kinetischen Term, aus dem die Maxwellgleichungen folgen. b) Das e hat in der Lagrangedichte die Funktion einer Kopplung zwischen dem Feld A und dem Teilchenfeld.

Michael D. schrieb:

Fazit: ein zeitlicher Axialvektor der Ladung, also plus oder minus, je nach Rotationsrichtung, was man ja auch messen kann.

Wenn schon, dann ein raumzeitlicher Axialvektor der Ladung (Rechte-Linke-Hand-Regel). Jetzt kommt aber die nächste Stufe, nämlich wenn die imaginäre Phasenverschiebung α
vom jeweiligen Raumzeitpunkt x
abhängt, also α(x)
. Dann haben wir nur noch eine lokale U(1)-Phasentransformation. Anscheinend ist die Ladung allein dann keine Erhaltungsgrösse mehr.

Jetzt komme ich nicht mehr ganz mit. Wie du (Michael) ja schon gesagt hast, ist die U(1)-Drehung keine Drehung im physikalischen Raum.
Wenn die Symmetrie lokal ist, dann ist das übrigens nicht "weniger" sondern "mehr", soll heißen das impliziert eine globale Symmetrie und damit die Ladungserhaltung. Es soll ja nicht \( \psi \mapsto e^{i\alpha(x)}\psi\) für eine ganz bestimmte Funktion den Lagrangian Invarianz lassen, sondern für jedes \(\alpha(x)\), insbesondere also auch für \(\alpha(x)=\alpha=const.\).

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 08 Nov 2019 08:29 #60577

ra-raisch schrieb: Aber wieso sollte es denn vom Raumzeitpunkt abhängen. Es geht doch nur um die Drehrichtung (Vorzeichen der Ableitung) und nicht um den Zeitpunkt oder den Ort.

Guter Einwand. Allerdings ist die Wellenfunktion der beteiligten Felder (\(\psi(x)\)) auch lokal von der Raumzeit abhänig. Daher hat man das von der imaginären Phasenverschiebung \(\alpha\) auch gefordert.

Ferragus schrieb: Jetzt komme ich nicht mehr ganz mit. Wie du (Michael) ja schon gesagt hast, ist die U(1)-Drehung keine Drehung im physikalischen Raum.

Ja, aber wo ist dann das Problem?

Wenn die Symmetrie lokal ist, dann ist das übrigens nicht "weniger" sondern "mehr", soll heißen das impliziert eine globale Symmetrie und damit die Ladungserhaltung. Es soll ja nicht \( \psi \mapsto e^{i\alpha(x)}\psi\) für eine ganz bestimmte Funktion den Lagrangian Invarianz lassen, sondern für jedes \(\alpha(x)\), insbesondere also auch für \(\alpha(x)=\alpha=const.\).

Ok, verstanden. Eine lokale Symmetrie ist "mehr".

Zwischenfazit: Von einer lokalen Eichtransformation fordert man, dass die Ableitung der globalen Eichtransformation gemäss Noether-Theorem auch zu einer Erhaltungsgrösse führt. Für die Ladung allein ist dies offensichtlich nicht der Fall. Es entstehen zusätzliche Terme.
Und: Lokale Theorien sind ganz allgemein Differentialgleichungen, wie z.B. auch die ART und die Schrödinger-, Klein-Gordon-, und Dirac-Gleichung.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 08 Nov 2019 11:17 #60581

Michael D. schrieb: Guter Einwand. Allerdings ist die Wellenfunktion der beteiligten Felder (\(\psi(x)\)) auch lokal von der Raumzeit abhänig. Daher hat man das von der imaginären Phasenverschiebung \(\alpha\) auch gefordert.

Ich vermute mal, dass sich das auf gekrümmte Raumzeit bezieht. Bei Minkowski ist jeder Raumzeitpunkt gleichberechtigt. Deine Grafiken sind ja erstmal ohne Metrik, ein Schritt nach dem anderen, bzw wird wohl die Einbeziehung der Metrik eher trivial werden.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 08 Nov 2019 11:27 #60582

ra-raisch schrieb: Ich vermute mal, dass sich das auf gekrümmte Raumzeit bezieht. Bei Minkowski ist jeder Raumzeitpunkt gleichberechtigt.

Nein, ich denke es bezieht sich auf die Lorentz-Transformationen. Es ist nicht jeder Raumzeitpunkt gleichberechtigt. Gekrümmte Raumzeit wird in der QFT nicht berücksichtigt.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 08 Nov 2019 13:16 #60588

Michael D. schrieb:

ra-raisch schrieb: Ich vermute mal, dass sich das auf gekrümmte Raumzeit bezieht. Bei Minkowski ist jeder Raumzeitpunkt gleichberechtigt.

Nein, ich denke es bezieht sich auf die Lorentz-Transformationen. Es ist nicht jeder Raumzeitpunkt gleichberechtigt.

:dry: ... dann gibt es also ein ausgezeichnetes Bezugssystem? Wie soll das denn bestimmt sein?
Die Lorentztransformation übersetzt lediglich Koordinaten und sonstige Größen von einem Bezugssystem ins andere, in jedes andere, da gibt es keine speziellen.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 08 Nov 2019 14:30 #60594

ra-raisch schrieb: Die Lorentztransformation übersetzt lediglich Koordinaten und sonstige Größen von einem Bezugssystem ins andere, in jedes andere, da gibt es keine speziellen.

Ist doch kein Problem. Die QFT ist Lorentz-invariant. Daher kann ich hin- und herrechnen, wie ich lustig bin. Aber rechnen muss ich. Und die Berechnung ist an jedem Raumzeitpunkt verschieden. Die SRT gilt ja auch lokal an jedem Raumzeitpunkt der ART.

Hier nochmal die Lorentz-invariante Klein-Gordon-Gleichung für relle (ungeladene spinlose Bosonen, z.B. neutrale Pionen oder Higgsbosonen) oder komplexe (geladene spinlose Bosonen, z.B. geladene Pionen) Wellenfunktionen im Minkowski-Raum:

\(\left(-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\frac{\partial^2}{\partial {x_1}^2}+\frac{\partial^2}{\partial {x_2}^2}+\frac{\partial^2}{\partial {x_3}^2}\right)\phi=m^2\phi\)

Man beschreibt diese Gleichung insofern mit Worten, als dass man vom "Einwirken" der Lorentz-Gruppe auf die Wellenfunktion spricht. Die entsprechende Lagrangedichte für ein komplexes Feld (geladene Bosonen) lautet:

\(\mathcal{L}=\left(\partial_\mu \phi^*\right)\left(\partial^\mu \phi\right)-m^2\phi^*\phi\)

Generell gilt, dass Lagrangedichten Lorentz-Skalare und somit Lorentz-invariant sind. Es sind Energiedichten.

Hier mal ein Beispiel für eine Phasentransformation der Wellenfunktion mit raumzeitabhängigem \(\alpha(x)\):



Ich versuche jetzt, mathematisch eine lokale Eichtransformation mit \(\alpha(x)\) durchzuführen um festzustellen, ob der kinetische Term der Lagrangedichte invariant bleibt:

\(\mathcal{L}'=\left(\partial'_\mu \phi'^*\right)\left(\partial'^\mu \phi'\right)-...=\left(\partial_\mu e^{-i\alpha(x)}\phi^*\right)\left(\partial^\mu e^{i\alpha(x)}\phi\right)-...\)
\(=\left(e^{-i\alpha(x)}\partial_\mu \phi^*-i\partial_\mu\alpha(x)e^{-i\alpha(x)}\phi^*\right)\left(e^{i\alpha(x)}\partial^\mu \phi+i\partial_\mu\alpha(x)e^{i\alpha(x)}\phi\right)-...\)
\(=\left(\partial_\mu \phi^*\right)\left(\partial^\mu \phi\right)+i\partial_\mu\alpha(x)(\phi\partial_\mu\phi^*-\phi^*\partial^\mu\phi)+(\partial\alpha(x))^2\phi^*\phi-...\)

\(\mathcal{L}'=\mathcal{L}+i\partial_\mu\alpha(x)(\phi\partial_\mu\phi^*-\phi^*\partial^\mu\phi)+(\partial_\mu\alpha(x))^2\phi^*\phi\)

Es bleiben zusätzliche Terme übrig. Keine Invarianz. Man muss also versuchen, ein Eichfeld einzuführen, dass sich bei der lokalen Eichtransformation so mittransformiert, dass die Ableitung \(\partial_\mu\alpha(x)\) verschwindet. Dieses Feld kann eigentlich nur das EM-Feld sein, denn es war zu Feynmans Zeiten ja lange bekannt, dass elektrische Ladungen mit dem EM-Feld wechselwirken. Also konnte es nur das entsprechende Vektorpotential \(A_\mu(x)\) sein. Man wusste also im Vorhinein, was rauskommen muss und dementsprechend hat man die Mathematik angepasst.

Ok, versuchen wir es mal mit der kovarianten Ableitung \(D_\mu=\partial_\mu+iA_\mu\), deren Zusatzterm sich kompensatorisch so transformieren muss, dass die Invarianz wiederhergestellt ist: \(A'_\mu(x)=A_\mu(x)+\partial_\mu\alpha(x)\)

\(\mathcal{L}'=(D'_\mu \phi'^*)(D'^\mu \phi')-...=((\partial_\mu+iA'_\mu)\phi'^*)((\partial^\mu+iA'^\mu)\phi')-...\)
\(=\left((\partial_\mu+iA'_\mu)e^{-i\alpha(x)}\phi^*)\right)\left(...\right)-...=\left((\partial_\mu+iA_\mu+i\partial_\mu\alpha(x))e^{-i\alpha(x)}\phi^*)\right)\left(...\right)-...\)
\(=\left(e^{-i\alpha(x)}(\partial_\mu+iA_\mu+i\partial_\mu\alpha(x)-i\partial_\mu\alpha(x))\phi^*\right)\left(...\right)-...\)
\(=\left(e^{-i\alpha(x)}(D_\mu\phi^*)\right)\left(...\right)-...\)

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