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THEMA: Gruppentheorie.

Gruppentheorie. 14 Nov 2019 17:00 #60889

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Hallo zusammen.

Leider ist das Thema Gruppentheorie im Buch sowie in der Videoserie sehr oberflächlich abgehandelt worden.
Ich möchte etwas tiefer einsteigen. Leider scheint das Thema wie ein Fass ohne Boden zu sein. Eigenrecherche kann da schnell zu Verzweiflung führen.
Wäre es möglich speziell die Eichsymmetien U1xSU2xSU3 etwas genauer zu erklären?

U1 ist ja noch verständlich: eine Rotationsebene (im Prinzip die komplexe Ebene) und als Operation die Drehung der komplexen Zahl mit dem Betragsquatrat von 1.
SU2 wird etwas verwirrend. Da werden ja dann im Prinzip zwei komplexe Zahlen (z1 und z2) ineinander verschachtelt gedreht, sodass gilt z1Quadrat + z2 Quadrat = 1.
Ich habe ausserdem gelesen, dass SU(2) isomorph zu den Einheitsquaternionen ist. Kann man dann behaupten i,j und k entsprächen den Bosonen W-, W+ und Z0?

Grüße
Tim

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Gruppentheorie. 14 Nov 2019 17:38 #60890

TimS schrieb: Ich habe ausserdem gelesen, dass SU(2) isomorph zu den Einheitsquaternionen ist. Kann man dann behaupten i,j und k entsprächen den Bosonen W-, W+ und Z0?

Nein, das kann eigentlich nicht sein. Die genannten Bosonen haben Spin 1. SU(2) beschreibt aber Fermionen mit halbzahligem Spin.

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.
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Gruppentheorie. 14 Nov 2019 18:19 #60891

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Gaßner schreibt in seinem Buch:
Die W und Z Bosonen koppeln unterschiedlich stark an andere Quantenfelder. Deshalb wird für die QFD eine zusätzliche Drehung benötigt, dh ihre Gruppendarstellung (SU(2)) ist zweidimensional. Kann das jemand genauer erläutern?

Die Einträge der 2x2Matrizen sind ja jeweils komplexe Zahlen (die zweidimensional sind). Daraus ergeben sich dann 4 Dimensionen. Es werden also durch SU(2) Operationen in gewissem Sinne 4 dimensionale Gebilde rotiert?

In 4 Dimensionen gibt es ja 6 Ebenen: 4 Dimensionen: 1,i,j,k 6 Ebenen: ij, ik, i1, jk, j1, k1. Entsprechen diese 6 Ebenen den 6 verschiedenen Quarkflavours?

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Gruppentheorie. 14 Nov 2019 18:47 #60893

TimS schrieb: ...dh ihre Gruppendarstellung (SU(2)) ist zweidimensional. Kann das jemand genauer erläutern?

Er meint wahrscheinlich mit "zweidimensional", dass man zur Beschreibung Matrizen vom Rang 2 benötigt. Die ergeben dann eine zweidimensionale "Drehung" zwischen den Zuständen "Up" und "Down".

Die Einträge der 2x2Matrizen sind ja jeweils komplexe Zahlen (die zweidimensional sind). Daraus ergeben sich dann 4 Dimensionen.

Nee, ich bin mir sicher, dass es bei zwei Dimensionen bleibt. Die 2x2 Matrizen funktionieren im Prinzip auch ohne komplexe Zahlen.

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Gruppentheorie. 14 Nov 2019 19:46 #60905

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Hm. Bin mir eigentlich sicher, dass es 4 unabhängige Dimensionen sind. Aus SU(2) leiten sich ja auch die 3 Pauli Matrizen und die Identity Matrix ab. (im Sinne von 4 Basis Vektoren). vergleichbar mit den 4 Basisvektoren der Quaternionen, 1,i,j und k

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Gruppentheorie. 14 Nov 2019 20:01 #60907

Ich gebe Dir insofern Recht, als es die 3 Raumdimensionen + 2er-Zustand "up"/"down" sind.

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Gruppentheorie. 14 Nov 2019 21:53 #60917

Die Gruppe ist dreidimensional. Kann man z.B. daran sehen, dass komplexe 2*2-Matrizen 4 reelle Komponenten haben und die Unitaritätsbedingung eine eliminiert.

Übrigens ist SU(2) lokal isomorph zu SO(3), der Gruppe von Rotationen im R^3.

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Gruppentheorie. 14 Nov 2019 22:08 #60920

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Durch SU(3) Symmetrie ergibt sich. 3x3 = 8 +1. Das +1 ist aber physikalisch nicht realisiert. Deshalb verbleiben 8 Generatoren (3x3 Matrizen) Diese werden Gell-Mann Matrizen genannt und als die 8 Gluonen interpretiert.

SU(2) Symmetrie hat ja 3 Generatoren. (2x2 Matrizen) Diese sind den Pauli Matrizen ähnlich. Für was stehen diese 3 Matrizen?
Klar die Pauli Matrizen stehen für Spin up oder down entlang der x,y und z Achse. Gibt es aber für die 3 Generatoren der SU(2) (in Analogie zur SU(3)) die Interpretation als W-/W+ und Z0 Boson?

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Gruppentheorie. 15 Nov 2019 14:16 #60941

@TimS
Wenn Du etwas mehr mit Gruppen rumprobieren möchtest, empfehle ich den " Elementary Particle Explorer " von Garret Lisi ("E8 - A simple theory of everything"). Da wirst Du alles finden, was Du Dir nur wünscht. :)

Nochmal zu SU(2): Bei Wikipedia gibt es folgende Formel dazu:

\(SU(2)=e^{-\frac{1}{2}i\vec{\alpha}\cdot\vec{\sigma}}\)

Das heisst, die Drehwinkel \(\alpha\) werden, statt mit einer skalaren Ladungszahl \(q\) wie bei U(1), mit Matrizen vom Rang 2 \(\sigma\) (Pauli-Matrizen) multipliziert. Das heisst, die Drehwinkel werden pro Umlauf um die Hälfte gedreht, wie bei einem Möbiusband . Damit kannst Du dann die Zustände "Up" und "Down" beschreiben. Visualisiert sieht das dann so aus:

upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/t...on.ogv.480p.vp9.webm

Die Kugeln müssen zweimal komplett rotieren (4\(\pi\)), um wieder den Ausgangszustand zu erreichen. Von der Einheitsquaternion braucht man nur die Komponenten \(Re\), \(i\) und \(j\), um SU(2) zu beschreiben:


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Gruppentheorie. 15 Nov 2019 17:02 #60950

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Vielen Dank. Aber bist du dir sicher mit den Quaternionen? Da brauch man denke ich schon Re, i, j und k. Die beiden Gruppen sind ja schließlich isomorph...

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Gruppentheorie. 15 Nov 2019 18:00 #60951

TimS schrieb: Vielen Dank. Aber bist du dir sicher mit den Quaternionen? Da brauch man denke ich schon Re, i, j und k. Die beiden Gruppen sind ja schließlich isomorph...

Also ich sehe für k keine Notwendigkeit. Den Freiheitsgrad hätte man meines Erachtens noch frei. Vielleicht liege ich damit ja falsch und jemand anderes weiss es besser. :unsure:

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Gruppentheorie. 17 Nov 2019 11:33 #61044

SU(2) ist ja isomorph zu den →Einheits←quaterionen: Für die ist der Betrag=1, was einen Freiheitsgrad eliminiert.

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Gruppentheorie. 18 Nov 2019 12:43 #61097

Ferragus schrieb: SU(2) ist ja isomorph zu den →Einheits←quaterionen: Für die ist der Betrag=1, was einen Freiheitsgrad eliminiert.

Braucht man nun \(k\) zur Beschreibung von SU(2) oder nicht?

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Gruppentheorie. 18 Nov 2019 13:13 #61099

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über Einheitsquaternionen gibt es ziemlich gutes Video von 3blue1brown:


Einheitsquaternionen sind zusammengesetzt unter folgender Voraussetzung: a1^2+bi^2+cj^2+dk^2=1. Sie bilden also die Summe der Zahlen die in einem 4 dimensionalen Raum die Fläche der 4 dimensionalen Kugel mit dem Radius 1 bilden. Diese 4D Fläche kann man stereographisch in einen 3D Raum projizieren.
Darum sind ja auch die Einheitsquaternionen isomorph zu SO3 (bzw besteht ein 2:1 Homomorphismus). Ich bin kein Experte auf dem Gebiet aber das Video und das Thema Quaternionen faszinieren mich...

Und innerhalb des so projizierten 4D Raums auf 3D gibt es 6 Rotationsebenen: ij, ik, jk, 1i, 1j und 1k. Jedoch ist zu beachten, dass immer 2 Ebenen senkrecht zueinander und synchron rotieren. Rotiert man zb ij, dann rotiert automatisch 1k mit. Unter all diesen Rotationen bleibt oben genannte Bedingung (a1^2+bi^2+cj^2+dk^2=1) wahr. Dh wenn du innerhalb der Gruppe der Einheitsquaternionen Rotationen vollführen willst dann kannst du 6 Ebenen rotieren. Die Rotation einer Ebene hat jedoch die Rotation einer weiteren mit ihr verknüpften Ebene zur Folge. Dh prinzipiell hat man 3 voneinander unabhängige Systeme (die jeweils aus 2 Ebenen bestehen)

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Gruppentheorie. 18 Nov 2019 13:43 #61100

Ja, das Video kenne ich auch schon. In folgender Quelle kann man lesen, dass Quaternionen eine 4-dimensionale Repräsentation von reellen Zahlen und eine 2-dimensionale Repräsentation von komplexen Zahlen darstellen. Demnach würden für einen Dirac-Spinor (Fermionen) alle 4 Freiheitgrade der Quaternionen benötigt, also auch \(k\). An der Quelle ist interessant, dass sie noch einen Schritt weiter geht: nämlich die Beschreibung von SU(3) mit Hilfe von Octonionen.

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Gruppentheorie. 21 Nov 2019 15:39 #61289

Was genau meinst du mit "k benötigen"?
S^1 ist z.b. isomorph zu U(1) und auch wenn die Gruppen eindimensional sind, kann man ein x aus S^1 in der Form x= a+ i b schreiben .

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Gruppentheorie. 21 Nov 2019 15:53 #61291

Ferragus schrieb: Was genau meinst du mit "k benötigen"?

Dass ich "k" als Veränderliche zur Beschreibung von SU(2) benötige. Inzwischen hatte ich eine Quelle gefunden, in der gesagt wurde, dass ich mit Quaternionen genau einen zweidimensional komplexen Raum beschreiben kann. Für SU(3) würde ich dann schon Octonionen benötigen. Insofern alles geklärt. :)

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Gruppentheorie. 21 Nov 2019 18:23 #61295

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ich hätte nochmal eine grundsätzliche Frage.
SU2 beschreibt ja Spin 1/2 Teilchen. Innerhalb der SU2 gibt es Symmetrietransformationen (Rotationen) die den Spin von Up zu Down in x, y und z Richtung ändern.
Der Spin wird wenn man sich die Quaternionen anschaut von zwei Quaternionen (q) dargestellt in der Form: q*x*q^-1. Dadurch bekommt man für x zwei "makroskopisch" identische Zustände. Einen nach 360 Grad Drehung, den anderen nach 720 Grad. Beide sind jedoch durch unterschiedliche Quaternionen dargestellt und verhalten sich auch physikalisch unterschiedlich. (Verhalten in einem Magnetfeld) Die beiden Zustände sind Up und Down.
Kann man ein Quaternion mit dem Dirac Spinor gleichsetzen? Es gibt ja i, j und k (gleichzusetzen mit der Raumrichtung x, y und z.) und dann die Rotation der Achsen i j und k die dann die Wahrscheinlichkeit für Spin Up oder Down entlang der Raumrichtung angeben.
Wenn man die Ebene ij rotiert (Rotation der k Achse) dann rotiert ja auch die Ebene 1k. Welche Interpretation kommt dieser Ebene 1k zu? steht diese synchrone Rotation für die Wahrscheinlichkeiten der Spin Zustände der Antiteilchen?
und welche "Rotation" führt dann ein W oder Z Boson durch? Ist die durch W und Z Bosonen hervorgerufene Rotation eine Rotation, die die SU2 Symmetrie erhält?
und wenn ja welche Ebene wird dann hier rotiert? kann ich da mit dem Finger drauf zeigen? Müsste doch möglich sein..

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Gruppentheorie. 21 Nov 2019 19:59 #61303

TimS schrieb: Der Spin wird wenn man sich die Quaternionen anschaut von zwei Quaternionen (q) dargestellt...

Meiner Meinung nach reicht dafür ein Quaternion aus.

Beide sind jedoch durch unterschiedliche Quaternionen dargestellt und verhalten sich auch physikalisch unterschiedlich.

Ich denke zwei Quaternionen braucht man für Zweiersysteme wie z.B. in den Atomorbitalen.

Kann man ein Quaternion mit dem Dirac Spinor gleichsetzen?

Eigentlich nicht, denn der Dirac-Spinor beschreibt ja auch Antiteilchen.

...und welche "Rotation" führt dann ein W oder Z Boson durch? Ist die durch W und Z Bosonen hervorgerufene Rotation eine Rotation, die die SU2 Symmetrie erhält?
und wenn ja welche Ebene wird dann hier rotiert? kann ich da mit dem Finger drauf zeigen? Müsste doch möglich sein..

Hast Du schon den Elementary Particle Explorer von Garrett Lisi ausprobiert?

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Gruppentheorie. 22 Nov 2019 11:50 #61325

Auch wenn Gruppentheorie in der Physik angewandt wird, vergesst nicht, dass Gruppentheorie erst mal nicht notwendigerweise etwas mit Physik (oder gar dem Standardmodell) zu tun hat.

TimS schrieb: ich hätte nochmal eine grundsätzliche Frage.
SU2 beschreibt ja Spin 1/2 Teilchen.

Jein. Spin-1/2-Teilchen entsprechen einer Spinordarstellung von SU(2) (der sog. Fundamental- oder definierenden Darstellung). SU(2) hat aber auch Vektordarstellungen, was insofern nachvollziehbar ist, als ja lokal SU(2) isomorph zu SO(3) ist.

Hinweis: SU(2) beschreibt nicht-relativistischen Spin. Elektronen sind also streng genommen keine Darstellungen von SU(2) sondern vielmehr von der Lorentzgruppe SO(1,3).

Die Anwendung auf Physik ist nicht ganz einfach - vielleicht hilft es, sich ein bisschen mit Darstellungstheorie von einfachen Gruppen, z.B. SO(2), zu beschäftigen ohne an Physik zu denken? (Sofern man Lust hat, als jemand, der das nicht beruflich macht, sich damit auseinanderzusetzen :D )
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