THEMA: Alternative Darstellung des Zwillingsparadoxons

Hallo liebes Forum,

verfolge die Reihe von Aristoteles zur Stringtheorie als nicht ganz so unbedarfter Zuschauer, und freue mich immer mit, wenn "der Junge" an der Tafel irgendwas ganz stolz erklären kann. Es macht richtig Spass zuzuschauen, auch wenn ich das allermeiste schon kenne. (das wird sich aber hoffentlich bald ändern)

Zuletzt ging es ja um ein paar Kommentare zur Relativitätstheorie, und insbesondere ausführlich auch zum Zwillingsparadoxon hier:(sorry für den Code - das Video wird automatisch eingebettet, dann funktioniert aber die Zeitfunktion nicht mehr)

Und da hat Josef M. Gaßner diese 2 Diagramme eingezeichnet und dann mit den Signalpings argumentiert - einmal ausgehend vom reisenden und einmal ausgehend vom ruhenden Zwilling. Ich bin mit dieser Erklärung überhaupt nicht zufrieden und möchte erst einmal erklären, warum eigentlich.

Meiner Meinung nach ist die Assymetrie hier eine Folge des Verschiebungstherms in den Gleichungen. Ohne jetzt die Gleichungen direkt bemühen zu wollen, ist eine einfache Erklärung dazu, dass das Licht eine Weile benötigt, um den Raum zu durchqueren. Werden die Abstände zwischen zwei Raumschiffen größer, benötigt das Licht mehr und mehr Zeit, um von einem zum anderen zu gelangen. Das macht sich bemerkbar, wenn Neil Armstrong immer erstmal 3 Sekunden nachdenken muss, bevor er auf eine Frage antwortet. Ihm fehlt auf dem Mond nicht der Sauerstoff zum Nachdenken, sondern das Licht, und damit das Verbindungssignal nach Houston benötigt 1,5 Sekunden, um eine Frage zum Mond zu schicken, und dann noch einmal soviel, um die Antwort zurück zu übermitteln. Wenn man auf einem Flug mit schnell wachsenden Entfernungen kommuniziert, dann sieht das (so ähnlich) aus, als würde die Zeit beim anderen langsamer vergehen, also wie eine Zeitdilatation. Und sie addiert sich quasi auch zu den Anteilen der eigentlichen Zeitdilatation. Aber sie hat mit der, durch Geschwindigkeitsdifferenzen hervorgerufenen Zeitdilatation, nichts zu tun. Denn, sobald sich die Raumschiffe wieder annähern - trotz beibehaltener Geschwindigkeitsdifferenz, und damit tatsächlich verbundener Zeitdilatation - verschwindet dieser Verschiebungstherm auch wieder. Das funktioniert relativ klassich, beim Wegflug sind die Wellenberge weiter auseinander, beim Rückflug sind sie zusammengestaucht. Und meiner Meinung nach ist diese in den Diagrammen durch die Signalwege deutlich gemachte Assymetrie nichts weiter als die Erzeugung dieser zeitlichen Verschiebung auf der Hinreise, und deren Aufhebung auf dem Rückweg, aus beiden Systemen betrachtet.
Das zeigt sehr wohl die Assymetrie des Systems, aber für das Verständnis der eigentliche Zeitdilatation, und warum welcher Zwilling schneller altert, finde ich es wenig hilfreich.

Genauso wenig hilfreich finde ich den klassischen Hinweis auf die Beschleunigung. Josef M. Gaßner hat ja da den eleganten Trick gezeigt, mit dem man Beschleunigungen einfach eliminiert. Die Zeitdilatation bleibt. Genauso die Inertialsysteme wenn ich den Rückflug hinbiege, indem ich ein ultraschweres Objekt umfliege, um meine Bahn umzulenken, ohne das Inertialsystem zu verlassen - ja ich weiß, das ist ART - aber "gravitative" Zeitdilatation lässt sich ja im Prinzip rausrechnen, und ändert ja nichts an der auf dem Flug erzeugten Zeitdifferenz, die ich ja durch die Länge des Fluges beeinflussen kann, ohne an den Beschleunigungsphasen, auch ganz klassischer Beschleunigung etwas zu ändern.

Jedenfalls hat mich diese Erklärung noch nie überzeugen können. Da finde ich die beiden Diagramme mit den Signalwegen doch noch hilfreicher.

Ich habe dann lange Zeit (Jahre...) herumgeknobelt und bin jetzt auf eine sehr elegante Erklärung gekommen, die ich gerne kurz vorstellen möchte. Vielleicht hilfts ja jemandem.

Dazu erst ein wenig Vorbemerkungen. Ich berufe mich in meiner Erklärung auf die Invariante Größe ds, bzw S zum Quadrat = X zum Quadrat + Y zum Quadrat + Z zum Quadrat - (ct) zum Quadrat; wir behalten aber y und z immer bei 0, und lassen sie daher im Folgenden immer weg.
Der Umgang damit ist etwas ungewohnt, und deswegen kurz ein wenig Erklärung dazu, um den Umgang damit etwas vertrauter zu machen.


Hier haben wir ein ganz klassisches Bild eines Lichtkegels, der die Welt in diese 4 Bereiche unterteilt: Zukunft, Vergangenheit und die beiden Anderswo. Die haben jeweils für S - vom Ursprung aus gemessen - einen unterschiedlichen qualitativen Wert. Und zwar

S zum Quadrat = X² - (ct)² < 0 also S = Wurzel aus einer Zahl <0, was einen komplexen Wert liefert und einer zeitartigen Lösung entspricht, wobei:
S = - i c tau der Vergangenheit und
S = + i c tau der Zukunft entspricht. (tau hier als Eigenzeit)

Oder S² = X² - (ct)² ist größet als 0; also S = Wurzel aus einer Zahl größer als 0, was analog raumartige Lösungen liefert.

Die geraden der Lichtkegel bilden dabei genau die bereiche, wo gilt, S² = 0.

Anmerkung für die Mods: "<" wird als Zeichen akzeptiert, das analoge "größer als" scheint generell diese Error 403 XSS attepmt - Fehlermeldung auszulösen. Das scheint nicht mein einziges Problem zu sein, aber weil ich "<-" als Folgefeile in die andere Richtung verwendet habe, mein mit Abstand größtes

Meine Erklärung ist jetzt im Prinzip eine veranschaulichung einer 3. Erklärung des Zwillingsparadoxons, die ich mal irgendwo aufgeschnappt hatte:
Mit der Wahl des reisenden Zwillings wählt man ein Bezugssystem, in dem man das Problem betrachtet. Und dieses Bezugssystem gibt die längste Zeitspanne vor, die vergehen kann - die Eigenzeit dieses Systems. Ich will jetzt dieses Bezugssystem genau vermeiden, sondern mache eine kleine Modifikation unseres Gedankenexperiments. Unsere Zwillinge besteigen beide ein Raumschiff. Die Raumschiffe entfernen sich mit einer gewissen Relativgeschwindigkeit voneinander. Wir wählen als Bezugspunkt ein System zwischen den beiden, dass immer den selben Abstand zu beiden hat. Dann gilt, dass sich das eine Raumschiff mit -v, das andere mit +v auf der X-Achse bewegt.
Die eigentliche Besonderheit ist aber, dass wir uns offenhalten, welcher Zwilling eigentlich "umkehren" und zum anderen zurück fliegen soll. Das machen die erst am Umkehrpunkt miteinander aus, genau genommen, haben sie gelost und die Lose in einem Umschlag gezogen. Auf einem Los steht "umkehren", auf dem anderen "dableiben" und die Umschläge werden erst am Umkehrpunkt geöffnet.
Um das Diagramm einfach zu halten sind die Umkehrpunkte so vereinbart, dass beide Zwillinge gleich lange zu ihrem jeweiligen Umkehrpunkt benötigen.

Jetzt sind sie also beide 2 Jahre geflogen, sie öffnen ihre Umschläge, und es kommt raus, dass der linke Zwilling umkehren soll. Ich habe das mal aufgemalt:


Und jetzt schauen wir uns die Größe S genau an, aus Sicht dieses Bezugssystems in der Mitte.
Wir stellen fest, bis zum Umkehrpunkt sind die beiden Systeme ziemlich gleich. c²t² ist ziemlich groß (wir reisen ja real), so weit können die beiden nicht gekommen sein. Die zurückgelegte Entfernung ist für beide gleich, und kleiner als ct. Daher ergibt x² - c²t² einen Wert kleiner Null für beide. Die Wurzel ergibt ic Tau, einen Wert der kleiner ist als t im mittleren Beobachtersystem.

Und jetzt warten wir die Rückreise ab. Auch die ist eingezeichnet. Und was hier auffällt ist, dass der linke, zurückkehrende Zwilling einen längeren Weg durch den Raum zurücklegt, als der rechte, der einfach nur weiterfliegt und auf seinen Zwilling wartet. Der Dunkelgrüne Weg vom Umkehrpunkt des linken Zwillings aus ist länger als der Hellgrüne vom Umkehrpunkt des rechten Zwillings ausgesehen.

Also ergibt s² = x² - (ct)² für den auf linken Zwilling einen kleineren Negativen(!) Wert als für den rechten. Also s² ist für den linken Zwilling größer. Da s² aber kleiner als 0 bleiben muss ist der Betrag kleiner.
Und damit ist die Wurzel daraus im Betrag kleiner, also auch die vergangene Eigenzeit kleiner. Im Verlgeich zu einem Beobachter in diesem Mittelsmann-system sind also beide Zwillinge verlangsamt gealtert. Aber derjenige, der die Richtung geändert hat, noch langsamer als der andere.
Dabei war nicht irgendeine ominöse Beschleunigung am Umkehrpunkt ausschlaggebend, sondern, dass durch die Änderung der Bewegungsrichtung der Laufweg durch den Raum/ die Raumzeit länger geworden ist, und damit sozusagen weniger Zeit aus der Größe S übrig bleibt.

Bitte entschuldigt die Erklärung in 4 eigenständigen Posts. Ich hätte es gerne in einem Post gemacht, mit Spoilern um übersichtlich zu bleiben. Aber ich hatte technische Probleme und das Debugging bestand darin den Text zu splitten, um rauszukriegen was schief lief. Sorry dafür.

@23089
Das macht sich bemerkbar, wenn Louis Armstrong immer erstmal 3 Sekunden nachdenken muss, bevor er auf eine Frage antwortet.

Meinst du den berühmten Trompeter oder vielleicht doch den Astronauten Neil Armstrong?

Und meiner Meinung nach ist diese in den Diagrammen durch die Signalwege deutlich gemachte Assymetrie nichts weiter als die Erzeugung dieser zeitlichen Verschiebung auf der Hinreise, und deren Aufhebung auf dem Rückweg, aus beiden Systemen betrachtet.

Gaßners Diagramme zeigen, dass (aus der Sicht des Erdlings) während des Wegflugs seines Zwillings für diesen zwei Jahre vergehen, während für ihn selbst ein Jahr vergeht. Unabhängig davon, wie nah oder entfernt der reisende Zwilling ist. Das hat mit der Verzögerung durch die längeren Kommunikationswege erstmal nichts zu tun.

Laut deinem Diagramm fliegt der Umkehrer ja dem anderen Zwilling hinterher bis er ihn erreicht.
Natürlich hat er einen längeren Weg insgesamt und eine höhere Geschwindigkeit ab Umkehrpunkt.
Verstehe nicht so recht was das erklären soll...

@sepp
Das Ruhesystem ist ja genau so gewählt das das dabei rauskommt.
Es ähnelt im Prinzip einem Beobachtersystem das mit der halben Geschwindigkeit des reisenden Zwillings in die gleiche Richtung fliegt. Die Erde scheint in entgegengesetzter Richtung davonzufliegen, der reisende Zwilling muss nach dem Umkehrpunkt zurück, die Bahn des "Beobachtersystems" kreuzen und die noch immer wegfleigende Erde einholen.
Das passt.

@LeseSalamander
Super Darstellung, Respekt.