Schritt für Schritt - ich versuch's mal - das wird eine LateX-Schlacht
Das ist die Ausgangsformel, die man durch Anwenden des Satzes des Pythagoras auf die Vektoren der Wege erhält:
\((c\triangle t')^2=(c\triangle t)^2+(v\triangle t')^2\)
Jetzt quadrierst Du jeden Faktor in den Klammern und erhältst:
\(c^2\triangle t'^2 = c^2\triangle t^2+v^2\triangle t'^2\)
Als nächstes teilst Du die linke Seite der Gleichung durch \(c^2\) und die beiden Summanden auf der rechten Seite auch, also erhält man:
\(\triangle t'^2 = \triangle t^2+\frac{v^2}{c^2}\triangle t'^2\)
Jetzt bringt man das \(\triangle t^2\) auf eine Seite und kriegt so:
\(\triangle t'^2-\frac{v^2}{c^2}\triangle t'^2 = \triangle t^2\)
Auf der linken Seite hat man nun zwei Summanden mit \(\triangle t'^2\) drin, d.h. man kann \(\triangle t'^2\) ausklammern und erhält:
\(\triangle t'^2 (1-\frac{v^2}{c^2}) = \triangle t^2\)
oder eben, weil man bei einer Gleichung ja das, was auf der rechten Seite steht auf die linke Seite und das was auf der linken Seite steht auf die rechte Seite schreiben kann (links ist ja gleich rechts):
\(\triangle t^2=\triangle t'^2 (1-\frac{v^2}{c^2})\)
Um nun auf \(\triangle t'\) zu kommen teilt man beide Seiten der Gleichung durch \((1-\frac{v^2}{c^2})\) und dann steht da:
\(\frac{\triangle t^2}{(1-\frac{v^2}{c^2})}=\triangle t'^2\)
Jetzt muss man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen und erhält:
\(\sqrt{\frac{\triangle t^2}{(1-\frac{v^2}{c^2})}}=\sqrt{\triangle t'^2}\)
Ich vertausche wieder linke und rechte Seite und rechne \(\sqrt{\triangle t'^2}\) aus, das ist nämlich \(\triangle t'\); es steht dann also da:
\(\triangle t'=\sqrt{\frac{\triangle t^2}{(1-\frac{v^2}{c^2})}}\)
Man kann nun da auf der rechten Seite im Zähler die Wurzel hinschreiben und im Nenner ebenfalls, dann schaut die Geschichte so aus:
\(\triangle t'={\frac{\sqrt{\triangle t^2}}{\sqrt{(1-\frac{v^2}{c^2})}}}\)
Das ist, wenn man die Wurzel dann im Zähler zieht folgendes:
\(\triangle t'={\frac{\triangle t}{\sqrt{(1-\frac{v^2}{c^2})}}}\)
Nun muss man folgendes wissen, dass man eine Quadratwurzel aus einem Ausdruck folgendermaßen umschreiben kann: \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
Angewendet auf die Gleichung oben heisst das dann:
\(\triangle t'={\frac{\triangle t}{(1-\frac{v^2}{c^2})^{1/2}}}\)
Und jetzt zur letzten Umformung: Man kann das, was im Nenner des Bruches steht auch mit \(-1\) potenzieren und dann mit dem Zähler multiplizieren, dann wird man den Bruchstrich los (es gilt also \(\frac{x}{y}=xy^{-1}\) ) und damit steht dann da:
\(\triangle t'={\triangle t{(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1/2}}}\)
Ergänzend noch: Ich sehe gerade, dass der Andreas Müller das \(\frac{v^2}{c^2}\) noch umgeformt hat, indem er das Quadrat, das ja im Zähler und im Nenner steht, vor den Bruch zog und daraus \((\frac{v}{c})^2\) machte.
Damit ergibt sich dann, olé, olé:
\(\triangle t' = \triangle t(1-(\frac{v}{c})^2)^{-1/2}\)