THEMA: Zwillingsparadoxon mit und ohne Gravitation

Da sich der eine Faden zum Thema in der Kategorie der alternativen Weltbilder die demnächst abgeschafft wird befindet und der andere Faden hier sich auf ein bestimmtes Video aus der Reihe zur SRT beschränkt und deshalb eigentlich auch in die Rubrik SRT gehören würde eröffne ich hier ein eigenes Thema. Im Vorgängerthread schrieb ich:

  Yukterez schrieb: Das Zwillingsparadoxon spielt sich ein einer flachen Raumzeit ab,
  und man kann sogar Beispiele in einer gekrümmten Raumzeit konstruieren
  in denen sich die Raumzeitkrümmung im Ergebnis komplett wegkürzt.

Ein solches Beispiel wollen wir hier konstruieren. Am nachvollziehbarsten ist es mit konstanter Beschleunigung, wozu sich eine Kreisbahn anbietet. Das Szenario ist:

Zwilling 1 (Dick) bleibt stationär, während Zwilling 2 (Doof) mit der lokalen Geschwindigkeit v=c√⅓ im Kreis fährt. Links sehen wir die Rechnung für die flache Minkowskiraumzeit, und rechts wählen wir ein Szenario in dem Dick ein stationärer FIDO ist, während Doof sich im Orbit befindet. Damit die Orbitalgeschwindigkeit um die Masse die selbe wie die Kreisgeschwindigkeit auf der Scheibe ist wählen wir als Rendezvouspunkt r=5GM/c², θ=0=2π. Im ersten Fall ist daher Dick der kräftefreie Beobachter der sich auf einer Geodäte befindet, und im zweiten Falle Doof.

Die Rechnung ließe sich zwar auch in viel kürzerer Form durchführen, aber damit auch nachvollziehbar ist warum es sich in beiden Fällen auf den einseitigen Lorentzfaktor reduziert und der eine Zwilling wirklich älter als der andere ist machen wir es auf beiden Seiten über den metrischen Tensor. In der SRT kann man sich die metrischen Koeffizienten zwar auch schenken, aber der Vollständigkeit halber führen wir sie auf beiden Seiten mit und berechnen die Eigenzeiten übers Linienelement

Damit wir nicht endlos aufsummieren und umständlich drüberintegrieren müssen halten wir die Bewegung entlang θ und auf konstantem r und φ, weshalb wir nur die Komponenten g_tt und g_θθ benötigen und das Differential d wie ein Delta Δ behandeln können:

Für den masselosen Fall reduziert sich diese Gleichung mit v=ωr auf 1/√(1-ω²r²/c²)=1/√(1-v²/c²)=√1.5, also den bekannten Lorentzfaktor. Da r und φ auch im Beispiel mit der Gravitation für beide Zwillinge gleich sind und konstant bleiben müssen wir hier ebenfalls nicht über r und φ integrieren und können die gravitative Komponente die für beide Zwillinge gleich ist herauskürzen. In beiden Szenarien ist Dick bei jedem Rendezvous um den Faktor √1.5 älter als Doof. Im System eines weit entfernten Beobachters (der Drilling) würde eine Umrundung im linken Szenario wegen der fehlenden gravitativen Zeitdilatation allerdings um den Faktor √0.6 kürzer dauern als im rechten, wo er eine um diesen Faktor shapiroverzögerte Kreisgeschwindigkeit misst.

  Ra-Raisch schrieb: Man kann dies auch sehr schön grafisch darstellen, es ist aber
  falsch, dies aus Sicht des daheimgebliebenen Zwillings zu konstruieren. Für
  diesen ändert sich ja nichts in seiner Beobachtung. Vielmehr muss man die
  Sicht des bewegten/beschleunigten Zwillings darstellen.

Links haben wir nochmal die rotierende Scheibe im System von Dick, und rechts im System von Doof; wie man sieht passt beides zusammen, weshalb es auch kein Paradox gibt:

Die Beschreibung im beschleunigten Bezugssystem rechts ist halt insofern komplizierter dass wir mit g_τθ einen Kreuzterm dazubekommen, was aber alles kein Problem ist wenn man die Mathematik dazu hat.

Vergleichend,

Hi Yukterez,

wollte es mir gerade genauer ansehen aber das erste verlinkte PNG ( cloud.yukterez.net/zwillingsparadoxon,mi...vs.schwarzschild.png ) zeigt 404 und die Grafik ist die Gleiche wie die die Zweite.

manfred67 schrieb: wollte es mir gerade genauer ansehen

Es wird eh nicht genauer, nur größer.

manfred67 schrieb: das erste verlinkte PNG zeigt 404

Anscheinend ein temporärer Fehler bei Cloudflare. Der Link ist aber eh nur eine Sicherungskopie des bereits angezeigten Bilds wo bereits alles drauf ist was man braucht. Wenn so was passiert kann man zwar im Link cloud durch cache oder org ersetzen, aber eigentlich sollten solche 404 sowieso nicht allzu lange anhalten und ein normaler Force Refresh auf Clientseite reichen.

manfred67 schrieb: die Grafik ist die Gleiche wie die die Zweite.

Auf der ersten Grafik hast du zwei verschiedene Situationen (links ohne und rechts mit Gravitation) und auf der zweiten das selbe Szenario in zwei verschiedenen Bezugssystemen (links in dem des ruhenden, und rechts im dem des kreisenden Zwillings). Wenn man statt einer Kreisbewegung eine radiale Bewegung betrachten will kann man in der Metrik rechts unten einfach das g_τθ=rv/c streichen, und stattdessen ein g_τr=v/c einsetzen. Das einzige Vorwissen das zum Verständnis vorausgesetzt wird ist nur dass man weiß was ein Linienelement ist.

Keinen Schritt ausgelassen habend,

Müsste es nicht so sein, daß beide Zwillinge gleich alt bleiben?

Ich argumentiere mal folgendermaßen:

Die Beschleunigung wirkt auf beide Zwillinge gleich
und nur radial. Sie fällt damit weg.

Tangential gibt es eine Relativgeschwindigkeit.
Es gilt also die SRT.
Beide Zwillinge bewegen sich aber, relativ gesehen,
symmetrisch.
Die Zwillinge bewegen sich zwar voneinander weg
und dann wieder aufeinander zu,
aber ohne Unterschied in der Beschleunigung.
Es gibt also keinen Symmetriebruch.

Wieso also sind die Zwillinge unterschiedlich alt?

sebp schrieb: Müsste es nicht so sein, daß beide Zwillinge gleich alt bleiben?

Ich argumentiere mal folgendermaßen:

Die Beschleunigung wirkt auf beide Zwillinge gleich
und nur radial. Sie fällt damit weg.

Die Argumentation macht insofern keinen Sinn, als dass Yukterez einen punktsymmetrischen Ansatz von Spatium vorgegeben hat, in dem Dick nunmal ruht und Doof nunmal nicht.

Hi Yukterez,
danke, jetzt gehen beide Links.

Im unteren Mathematica Screenshot verwendest du aber auch rechts die SRT?

was aber alles kein Problem ist wenn man die Mathematik dazu hat.

Damit meist du Polar- und Born-Koordinaten?

Danke jedenfalls für deine Mühe, ich habe viel gelernt, auch wenn die Schwarzschild-Koordinaten (derzeit) noch eine Nummer zu groß für mich sind.

manfred67 schrieb: Im unteren Mathematica Screenshot verwendest du aber auch rechts die SRT?

Ja, das ist das Szenario auf der masselosen rotierenden Scheibe aus der Sicht des rotierendes Zwillings.

manfred67 schrieb: Damit meist du Polar- und Born-Koordinaten?

Ja, in kartesischen Koordinaten hätte man in dem Szenario zwei zeitabhängige Kreuzterme statt einen zeitlich konstanten.

Reduzierend,

Die Argumentation macht insofern keinen Sinn, als dass Yukterez einen punktsymmetrischen Ansatz von Spatium vorgeben hat, in dem Dick nunmal ruht und Doof nunmal nicht.

Was für ein Ansatz gewählt wurde ist doch egal.
Es gibt nur eine Wirklichkeit und aus jedem Bezugssystem heraus betrachtet muss das gleiche Ergebnis kommen.

Was ist denn falsch an meiner Argumentation?

sebp schrieb: Es gibt nur eine Wirklichkeit und aus jedem Bezugssystem heraus betrachtet muss das gleiche Ergebnis kommen.

Kommt es auch. Wie du siehst kommt in jedem Bezugssystem heraus dass Dick um den Faktor √(3/2) älter ist als Doof.

Nicht wissend was du willst,

Ich möchte wissen was an meiner Argumentation nicht stimmt.

sebp schrieb: Ich möchte wissen was an meiner Argumentation nicht stimmt.

Von welchem Beispiel redest du, von dem mit oder von dem ohne Gravitation?

Es davon abhängig machend wo dein Fehler liegt, da es auch davon abhängt auf welchen der beiden Zwillinge eine Kraft wirkt,

sebp schrieb: Die Beschleunigung wirkt auf beide Zwillinge gleich

hier ist dein fehler

Etwas anders aufgezäumt.

Beschleunigung. Wir ändern das Experiment ein klein wenig. Beide beschleunigen zugleich auf dieselbe Geschwindigkeit und bewegen sich danach mit konstanter Geschwindigkeit ohne Beschleunigung. Der erste Zwilling kehrt jetzt um zum Ausgangspunkt. Der zweite reist noch viele Jahre weiter mit konstanter Geschwindigkeit und kehrt dann um zum Ausgangspunkt. Damit ist bezogen auf das Alter der Zwillinge nur miteinander verglichen die Beschleunigung raus. Es zeichnet sich auch keiner der beiden durch eine erfahrene Beschleunigung aus, wie man das manches Mal lesen kann. Nachtrag: Und auch nicht durch das Umkehren.

Wenn wir jetzt unsere Erfahrungswelt mit einer vom Raum unabhängigen Zeit anwenden und zusätzlich das Relativitätsprinzip auf beide, wird die Situation paradox = führt auf einen Widerspruch. Denn danach könnte ja kein Zwilling in jeweils seiner nicht beschleunigten Phase feststellen, ob er sich bewegt, oder der andere, und sie müssten sich gegenseitig gleich altern sehen.

Aber Zeit und Raum sind nicht unabhängig voneinander. Meiner Meinung nach ist diese Erkenntnis der wichtigste Schlüssel zum Verständnis. Martin Bäker hat in seinem Blog einen wirklich hübschen Text dazu verfasst, der dieses Verständnis näher bringen kann ohne Ballast: Klick! - auf den dort folgenden Artikel über das Zwillingsparadoxon wurde ja schon hingewiesen hier im Forum.

Danach wird es klarer. In der Raumzeit "bewegt" sich auch der ruhende Zwilling, und man kann es kurz beschreiben (der Satz stammt weitgehend aus Epstein / Eckstein): "Da der am Ende jüngere Zwilling einen Teil der Raumzeit-Strecke für den Raum beansprucht, bleibt bei ihm weniger für die Bewegung in der Zeit übrig."

Nachtrag: Am Ende treffen sie sich am selben Raumzeitpunkt. Der ältere ist dahin gelangt hauptsächlich auf der Zeit"achse". Der jüngere durch vergleichsweise viel Raum - da er am Ende aber am selben Punkt ankommt, muss er zwangsläufig weniger "Strecke" auf der Zeit"achse" zurückgelegt haben. Hätte er sich sehr langsam bewegt, also nicht in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit, würde er auf der Zeit"achse" vergleichsweise so viel "Strecke" zurückgelegt haben, dass er am Ende kaum älter wäre.

Klar, man kann auch toll rechnen und visualisieren, Yukterez kann das richtig gut. Je nach Kenntnisstand und damit auftretenden weitergehenden Fragen wird es dem einen oder anderen eher dadurch klarer. Nur hat den Level nicht jeder, deshalb finde ich back to the roots persönlich ab und an durchaus auch angebracht, selbst wenn es die x-te Wiederholung ist.

Von welchem Beispiel redest du, von dem mit oder von dem ohne Gravitation?

Mit Gravitation.

Es davon abhängig machend wo dein Fehler liegt, da es auch davon abhängt auf welchen der beiden Zwillinge eine Kraft wirkt

Ach da wirkt noch eine extra Kraft die einen Zwilling beschleunigt?

sebp schrieb: Ach da wirkt noch eine extra Kraft die einen Zwilling beschleunigt?

Wer kräftefrei sein will muss sich im freien Fall befinden. Wie soll der stationäre Zwilling denn relativ zur Masse stationär bleiben wenn er gleichzeitig von der Masse angezogen wird?

,