Da sich der eine Faden zum Thema in der Kategorie der alternativen Weltbilder die demnächst abgeschafft wird befindet und der andere Faden hier sich auf ein bestimmtes Video aus der Reihe zur SRT beschränkt und deshalb eigentlich auch in die Rubrik SRT gehören würde eröffne ich hier ein eigenes Thema. Im Vorgängerthread schrieb ich:
Yukterez
schrieb: Das Zwillingsparadoxon spielt sich ein einer flachen Raumzeit ab,
und man kann sogar Beispiele in einer gekrümmten Raumzeit konstruieren
in denen sich die Raumzeitkrümmung im Ergebnis komplett wegkürzt.
Ein solches Beispiel wollen wir hier konstruieren. Am nachvollziehbarsten ist es mit konstanter Beschleunigung, wozu sich eine Kreisbahn anbietet. Das Szenario ist:
Zwilling 1 (Dick) bleibt stationär, während Zwilling 2 (Doof) mit der lokalen Geschwindigkeit v=c√⅓ im Kreis fährt. Links sehen wir die Rechnung für die flache Minkowskiraumzeit, und rechts wählen wir ein Szenario in dem Dick ein stationärer FIDO ist, während Doof sich im Orbit befindet. Damit die Orbitalgeschwindigkeit um die Masse die selbe wie die Kreisgeschwindigkeit auf der Scheibe ist wählen wir als Rendezvouspunkt r=5GM/c², θ=0=2π. Im ersten Fall ist daher Dick der kräftefreie Beobachter der sich auf einer Geodäte befindet, und im zweiten Falle Doof.
Die Rechnung ließe sich zwar auch in viel kürzerer Form durchführen, aber damit auch nachvollziehbar ist warum es sich in beiden Fällen auf den einseitigen Lorentzfaktor reduziert und der eine Zwilling wirklich älter als der andere ist machen wir es auf beiden Seiten über den metrischen Tensor. In der SRT kann man sich die metrischen Koeffizienten zwar auch schenken, aber der Vollständigkeit halber führen wir sie auf beiden Seiten mit und berechnen die Eigenzeiten übers Linienelement
{\rm d}\tau=\surd \left(\sum _{\mu=1}^4 \sum _{\sigma=1}^4 \ g_{\mu \sigma} \ {\rm d}x^\mu \ {\rm d}x^\sigma \right)/c \ , \ \ \tau = \int {\rm d}\tau
Damit wir nicht endlos aufsummieren und umständlich drüberintegrieren müssen halten wir die Bewegung entlang θ und auf konstantem r und φ, weshalb wir nur die Komponenten
gtt und
gθθ benötigen und das Differential d wie ein Delta Δ behandeln können:
Für den masselosen Fall reduziert sich diese Gleichung mit v=ωr auf 1/√(1-ω²r²/c²)=1/√(1-v²/c²)=√1.5, also den bekannten Lorentzfaktor. Da r und φ auch im Beispiel mit der Gravitation für beide Zwillinge gleich sind und konstant bleiben müssen wir hier ebenfalls nicht über r und φ integrieren und können die gravitative Komponente die für beide Zwillinge gleich ist herauskürzen. In beiden Szenarien ist Dick bei jedem Rendezvous um den Faktor √1.5 älter als Doof. Im System eines weit entfernten Beobachters (der Drilling) würde eine Umrundung im linken Szenario wegen der fehlenden gravitativen Zeitdilatation allerdings um den Faktor √0.6 kürzer dauern als im rechten, wo er eine um diesen Faktor shapiroverzögerte Kreisgeschwindigkeit misst.
Ra-Raisch
schrieb: Man kann dies auch sehr schön grafisch darstellen, es ist aber
falsch, dies aus Sicht des daheimgebliebenen Zwillings zu konstruieren. Für
diesen ändert sich ja nichts in seiner Beobachtung. Vielmehr muss man die
Sicht des bewegten/beschleunigten Zwillings darstellen.
Links haben wir nochmal die rotierende Scheibe im System von Dick, und rechts im System von Doof; wie man sieht passt beides zusammen, weshalb es auch kein Paradox gibt:
Die Beschreibung im beschleunigten Bezugssystem rechts ist halt insofern komplizierter dass wir mit g
τθ einen Kreuzterm dazubekommen, was aber alles kein Problem ist wenn man die Mathematik dazu hat.
Vergleichend,