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Casimir Kraft 25 06. 2020 19:56 #71872

Ich bin mir nicht sicher, ob QED die richtige Rubrik ist.

Wie ich inzwischen nachlesen konnte, soll Casimir den wichtigsten Faktor, die Differenz der Frequenzen free und bound so berechnet haben

∫ ν dν - Σν = 1/12

Um dieses Ergebnis zu erreichen soll mit lim.exp(-εν) mittels der Euler-Maclaurin Summenformel konvertiert worden sein. Das sagt mir leider nichts.
EDIT: achso, das ist ja die Linearisierung ähnlich wie nach Taylor, also eine Näherung für eine bestimmte Stelle der Kurve, vermutlich wurde die Nullumgebung gewählt?

Diese Formel oben ist bereits dimensionsmäßig falsch. Es muss natürlich lauten (auch wenn natürlich ||Δν|| = 1)

∫ ν dν - Σν Δν = ∫00,5 ν dν = 0,5²/2 Hz² = 1/8 Hz² (exakt ! ... kann man doch so sagen?)

denn es gilt ∫0,5X+0,5 x dx = Σ0X x Δx
und x+0,5 → x wenn x → ∞

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Casimir Kraft 25 06. 2020 21:05 #71889

Rainer,

meinst du den Casimir - Effekt, aus dem eine Kraft resultiert, die zwei Metallplatten zusammen drückt, obwohl man keine äußere Kraft wirken lässt?
Die offensichtlich nur dadurch zustande kommt, das zwischen den Platten eine kleinere Unendlichkeit von Schwingungsmoden möglich ist, als ausserhalb?

Wenn dem so ist, dann eine Bitte an die Leser, diesen Effekt erst mal, vielleicht in Wiki, zu studieren.

Thomas
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Casimir Kraft 25 06. 2020 21:17 #71894

Ja Du hast Recht, das war ein bisschen kandidelt von mir.

Es geht übrigens um zwei Metallplatten, weil nur diese als Spiegel für die Schwingungen in Frage kommen. Daraus ergibt sich dann allerdings die alernative Erklärung mittels van der Waals Kräften, was in diesem Fall allerdings allgemein als gleichwertig angesehen wird, also wie zwei Seiten einer Medaille.

Aber um die Details ging es mir weniger, sondern es geht genau darum, wie man den Unterschied zwischen unbegrenzten Schwingungsmöglichkeiten an der Außenseite der Platten (free) und die stehenden Wellen im Zwischenraum der beiden Platten (bound) vergleicht, also zwei Unendlichkeiten.

....und natürlich mein einfaches aber abweichendes Ergebnis.

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Casimir Kraft 25 06. 2020 21:40 #71895

Die Van der Waals - Kräfte sind elektromagnetischer Natur. Sie sind an Materie gebunden. Sehr schwach zwar, aber keine freien Felder, die sich ohne Materie im Raum bewegen.

Um diese Felder auszuschließen, hat man die Metallplatten geerdet und streng darauf geachtet, dass solche materieverursachten Felder wirklich ausgeschlossen sind.

Hätte man das nicht zuwege gebracht, dann wäre der Casimireffekt nicht der Casimireffekt.

Thomas
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Casimir Kraft 25 06. 2020 21:42 #71896

wiki:
Im Grenzfall dünner Medien kann der Casimir-Effekt jedoch auch als eine Summe der Van-der-Waals-Kraft zwischen den einzelnen Atomen der beiden leitenden Platten verstanden werden. Darauf wurde 2005 von Robert L. Jaffe hingewiesen.[12] 2012 wurde dieses von Joseph Cugnon bestätigt.
...
Joseph Cugnon berichtet in seinem Artikel,[14] wie Casimir zu seiner vereinfachten Berechnung gekommen ist. Die Berechnung von Van-der-Waals-Kräften zwischen Körpern ist sehr schwierig. Als Casimir nun z. B. für die Van-der-Waals-Kraft zwischen einem Atom und einer leitenden Platte eine unerwartet einfache Formel gefunden hatte, zweifelte er, ob diese stimmen könnte. Er folgte dann einem Ratschlag von Niels Bohr: „Warum berechnen Sie den Effekt nicht, indem Sie die Differenz der Nullpunktenergien des elektromagnetischen Feldes ermitteln?“ Er berechnete daraufhin die Kräfte zwischen zwei Atomen und zwischen einem Atom und einer leitenden Platte. Schließlich wurde ihm klar, dass die Berechnung für zwei leitende Platten noch einfacher ist, und dieses Ergebnis publizierte er schließlich

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Casimir Kraft 25 06. 2020 21:51 #71897

Naja, das kann schon sein. Ob man den Einfluss der Van der Waalskräfte rein quantitativ herausgerechnet hat oder ob man deren Einfluss auch experimentell entfernen konnte, entzieht sich gerade meiner Kenntnis.

Thomas

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Casimir Kraft 25 06. 2020 22:37 #71906

Thomas schrieb: Naja, das kann schon sein. Ob man den Einfluss der Van der Waalskräfte rein quantitativ herausgerechnet hat oder ob man deren Einfluss auch experimentell entfernen konnte, entzieht sich gerade meiner Kenntnis.

Naja, dass die Platten geerdet waren, versteht sich von selbst. Aber dennoch entstehen van der Waals Kräfte...zumindest nach diesen Rechnungen, und zwar durch Polarisierung der Atome. Dies ist nun mehr oder weniger identisch mit den Moden im Vakuum also eine Vakuumpolarisierung.

Das "Problem" dabei ist eigentlich, dass Casimir einen Druck von außen durch geringeren Druck zwischen den Platten prophezeit und van der Waals eine Anziehung zwischen den Platten, also eigentlich den gegenteiligen Mechanismus mit gleicher Wirkung in diesem Fall.

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Casimir Kraft 26 06. 2020 16:03 #71932

ra-raisch schrieb: Um dieses Ergebnis zu erreichen soll mit lim.exp(-εν) mittels der Euler-Maclaurin Summenformel konvertiert worden sein. Das sagt mir leider nichts.
EDIT: achso, das ist ja die Linearisierung ähnlich wie nach Taylor, also eine Näherung für eine bestimmte Stelle der Kurve, vermutlich wurde die Nullumgebung gewählt?

Jein. Man hat hier erstmal die (offensichtlich divergente) Reihe
\(
\sum_{n=1}^\infty n.
\)
Was man macht, ist einen Regulator einführen und die Divergenz isolieren. Dafür betrachtet man
\(
\sum_{n=1}^\infty ne^{-\varepsilon n},.
\)
was im Limes \(\varepsilon \rightarrow 0\) zur ursprünglichen Summe führt. Das hat den Vorteil, dass wir diesen Ausdruck in die Form
\( a\frac{1}{\varepsilon^2} - \frac{1}{12} + O(\varepsilon)\)
bringen können. Das war jetzt die Reihenentwicklung in \(\varepsilon\).

Im Limes \(\varepsilon\rightarrow 0\), der der ursprünglichen Reihe entspricht, verschwindet der ganze letzte Teil \(O(\varepsilon)\) und man sieht, dass es einen endlichen Beitrag (-1/12) und den divergenten Beitrag gibt.

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Casimir Kraft 26 06. 2020 17:00 #71940

Ja, im Prinzip war mir das nun schon klar. Und was hältst Du von meiner Lösung?
Ist (n+0,5)/n → 1 für n→∞ nicht "besser"?
Ergeben sich denn mit anderen Regulatoren nicht womöglich andere Lösungen?
Und vor allem stellt sich die Frage, wieviel die höheren Ordnungen ausmachen.

Davon abgesehen, gehe ich davon aus, dass bei einem Vergleich analoger Werte mit diskreten Werten immer ±0,5 zu berücksichtigen sind, was automatisch zu meiner Lösung führt.

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Casimir Kraft 29 06. 2020 23:07 #72096

Eigentlich ist es ja komisch, denn
∫x = x²/2
Σx = x(x+1)/2 = x²/2+x/2
Σx-∫x = x²/2+x/2-x²/2 = x/2

während die diskrete Stufenlösung von Σx zu 50% der Kurve geringer als das Integral ∫x ist. Die lila Kurve im Bild zeigt dabei immer den unteren Wert an
Σ(x-1) = (x-1)x/2

Um diese für ±x→∞ zur Deckung zu bringen, muss die Summenformel leicht verschoben werden
ΣxΣ(x-.5) = ∫x - ∫0,5x= x²/2-0,5²/2

Das Integral ist auch der Mittelwert aus Σx+Σ(x-1) = 2∫x

Die blaue und die orange Kurve decken sich exakt (ich habe sie deshalb extra um 0,03 verschoben, ebenso den Mittelwert)

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Casimir Kraft 30 06. 2020 12:48 #72112

Leider wurden zwei Kurven in rot gezeichnet, aber der Unterschied dürfte klar sein.

Ein Vergleich meiner Lösung mit Casimirs Näherung, sowie mehrere Summenformeln (Ceil, Round, Floor), welche ist die richtige? Zählen dabei die Eckpunkte oder der Mittelwert? Einzig die Floor Funktion liegt immer unterhalb des Integrals.

Die Eckpunkte der Ceil-Funktion werden durch die übliche Summenformel markiert.

Ich denke, die richtige wären die Eckpunkte der Round Funktion. Meine Lösung geht genau durch diese Eckpunkte, Casimirs Lösung geht daran knapp vorbei, es ist ja auch nur eine Näherung erster Ordnung.

Man sieht, dass meine Lösung genau durch die Mittelpunkte der Floor-Funktion geht. Die übliche Summe basiert hingegen auf der Ceil-Funktion.

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