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Gravitationsgleichung und Rotation 30 03. 2017 15:39 #13113

Schaun wir mal. Jeder sollte seinen eigenen Lösungsweg versuchen. Ich führe dann meinen mal weiter. Erstmal erweitern wir Gleichung (7):
\[\ddot{r}*\dot{r}=-\frac{\alpha}{r^{2}}*\dot{r}+\frac{\beta}{r^{3}}*\dot{r}-\frac{\gamma}{r^{4}}*\dot{r}\]
Und integrieren:
\[\frac{1}{2}\dot{r}^{2}=C_{1}+\frac{\alpha}{r}-\frac{\beta}{2r^{2}}+\frac{\gamma}{3r^{3}}\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 31 03. 2017 21:47 #13136

x2 und Wurzel ziehen:
\[\dot{r}=\pm\sqrt{2C_{1}+\frac{2\alpha}{r}-\frac{\beta}{r^{2}}+\frac{2\gamma}{3r^{3}}}\]
Mit
\[\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\phi}\frac{d\phi}{dt}=\frac{dr}{d\phi}\dot{\phi}=\frac{dr}{d\phi}\frac{L}{mr^{2}}=\frac{dr}{d\phi}\frac{\sqrt{\beta}}{r^{2}}\]
ergibt sich:
\[\frac{dr}{d\phi}=\pm \frac{r^{2}}{\sqrt{\beta}}*\sqrt{2C_{1}+\frac{2\alpha}{r}-\frac{\beta}{r^{2}}+\frac{2\gamma}{3r^{3}}}\]
Separation:
\[d\phi=\pm \frac{\frac{\sqrt{\beta}}{r^{2}}}{\sqrt{2C_{1}+\frac{2\alpha}{r}-\frac{\beta}{r^{2}}+\frac{2\gamma}{3r^{3}}}}dr\]
Substitution (\(u=\frac{1}{r}\) und \(du=-\frac{dr}{r^{2}}\)):
\[d\phi=\mp \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{2C_{1}+2\alpha u-\beta u^{2}+\frac{2}{3}\gamma u^{3}}}du\]
Teilen durch \(\sqrt{\beta}\) und Integration [8]:
\[\phi+C_{2}=\mp \int\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{\beta}C_{1}+\frac{2\alpha}{\beta} u-u^{2}+\frac{2}{3}\frac{\gamma}{\beta} u^{3}}}du\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 04 04. 2017 11:10 #13224

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Ich will mal die Näherungslösung näher betrachten:

\( \ddot r = - \frac{a}{r^2} + \frac{b(1-\gamma)}{r^{3}} \)

mit \( \gamma = \frac{3v^2}{c^2} = \frac{3r^2\omega^2}{c^2} \)
und \( a = M_{Sonne} G\)
und \( b = L^2 / m_{Planet}^2 \)

Der Rechengang ist mit dem Faktor \( (1-\gamma) \) identisch mit dem bisherigen bis zu dieser Stelle:

\( \left(\frac{dr}{d\phi}\right)^{2} \cdot \omega^2 =2\epsilon+\frac{2a}{r}-\frac{b(1-\gamma)}{2r^{2}} \)

Mit \( \omega^2 = \frac{b}{r^4} \) erhält man:

\( \left(\frac{dr}{d\phi}\right)^{2} = \frac{r^4}{b} \cdot \left (2\epsilon+\frac{2a}{r}-\frac{b(1-\gamma)}{2r^{2}} \right ) \)

b geht in die Klammer:

\( \left(\frac{dr}{d\phi}\right)^{2} = r^4 \cdot \left (\frac{2\epsilon}{b}+\frac{2a}{br}-\frac{(1-\gamma)}{2r^{2}} \right ) \)

\( (1-\gamma) \) wird ausgeklammert:

\( \left(\frac{dr}{d\phi}\right)^{2} = r^4(1-\gamma) \cdot \left (\frac{2\epsilon}{b(1-\gamma)}+\frac{2a}{b(1-\gamma)r}-\frac{1}{2r^{2}} \right ) \)

Die Wurzel gezogen und umgedreht:

\( d\phi=\pm\frac{\frac{1}{\sqrt{(1-\gamma)}r^{2}}dr}{\sqrt{\left(\frac{2\epsilon}{b_{neu}}+\frac{2a}{b_{neu}r}-\frac{1}{r^{2}}\right)}} \)

Mit \( \sqrt{1-\gamma} \) multipliziert und \( u = 1/r \)
und \( b_{neu} = b(1-\gamma) \):

\( \phi \sqrt{1-\gamma}+C_{2}=\mp\int\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{2\epsilon}{b_{neu}}+\frac{2a}{b_{neu}}u-u^{2}\right)}}du \)

Weiter geht es identisch im alten Rechengang zur Lösung:

\( r\left(\phi\right)=\frac{1}{\beta_{neu}+\gamma_{neu}*sin\left(\phi \cdot \sqrt{1-\gamma}+C_{2}\right)} \)

Bis auf den Faktor \(\sqrt{1-\gamma}\) unterscheidet sich dieses Einstein-Ergebnis nicht von der Newton-Lösung, hat aber die Periheldrehung inklusive.

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Gravitationsgleichung und Rotation 04 04. 2017 11:26 #13225

Soweit so gut. Setz mal Werte ein. Mal sehen, ob die Näherungslösung näherungsweise stimmt.

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Gravitationsgleichung und Rotation 04 04. 2017 14:15 #13227

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Also gut, die Werte vom Merkur sind:

Grosse Halbachse a = 5,7909 10^10 [m]
Exzentrizität \( \epsilon \) = 0,2056
Umlaufperiode 88 Tage

Dann ist \(\omega = \frac{2 \pi}{88 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60} [1/s] = 0,826 \cdot10^{-6} [1/s] \)

und der mittlere Radius \( r = a \cdot (1-\epsilon^2) = 5,546 \cdot 10^{10} [m] \)

Damit ist \( \gamma = ( 3r\omega / c )^2 = 7 \cdot10^{-8} \)

mit \( \Delta \Phi = 2\pi \gamma \) in [rad] erhält man durch Multiplikation mit 180°/PI und 3600 '' gleich 0,09 '' Winkelabweichung.

Jetzt kommt es: Das ist die Winkelabweichung pro Merkurumlauf. Sie muss auf Erdumlauf und 100 Jahre umgerechnet werden.

\( \Delta \Phi \cdot \frac{100 \cdot 365 Erdtage}{88 Merkurtage} = 37'' \)

43'' ist der berühmte Wert von Einstein. Naja, in etwa. Wie gesagt, \(\omega\) muss iterativ ermittelt werden, weil das Modell der Bewegungsgleichung unterbestimmt ist.

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Gravitationsgleichung und Rotation 05 04. 2017 09:43 #13243

Das ist doch schon mal was. Ich mach dann mal bei der exakten Lösung weiter.

Optische Vereinfachung von Gleichung 8:
\[\phi+C_{2}=\mp \int\frac{1}{\sqrt{a+bu-cu^{2}+du^{3}}}du\]
Ausklammern von \(d\):
\[\phi+C_{2}=\mp \int\frac{1}{\sqrt{d\left(\frac{a}{d}+\frac{b}{d}u-\frac{c}{d}u^{2}+u^{3}\right)}}du\]
Weitere optische Vereinfachung:
\[\phi+C_{2}=\mp \int\frac{1}{\sqrt{d\left(e+fu-gu^{2}+u^{3}\right)}}du\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 11 04. 2017 13:57 #13377

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Neben der exakten Lösung der Bewegungsgleichung ist bei mir noch eine Frage offen:
Wo ist die Grenze zwischen der zentralen Masse und den Planeten ?
Die Umlaufgeschwindigkeit der Planeten nimmt infolge der Drehimpulserhaltung bei Annäherung an die zentrale Masse zu, aber nur bis zu einem bestimmten Radius. Dann passt sich der Drehimpuls des Planeten dem der Sonne an und die Masse des Planeten geht bei weiterer Annäherung in die Sonnenmasse über.

Wie bestimmt man diesen Grenzradius, bei dem die Impulserhaltung des Planeten nicht mehr funktioniert ?

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Gravitationsgleichung und Rotation 11 04. 2017 17:39 #13379

Dick schrieb: Neben der exakten Lösung der Bewegungsgleichung ist bei mir noch eine Frage offen:
Wo ist die Grenze zwischen der zentralen Masse und den Planeten ?
Die Umlaufgeschwindigkeit der Planeten nimmt infolge der Drehimpulserhaltung bei Annäherung an die zentrale Masse zu, aber nur bis zu einem bestimmten Radius. Dann passt sich der Drehimpuls des Planeten dem der Sonne an und die Masse des Planeten geht bei weiterer Annäherung in die Sonnenmasse über.

Wie bestimmt man diesen Grenzradius, bei dem die Impulserhaltung des Planeten nicht mehr funktioniert ?


Wenn ein Planet der Sonne zu nahe kommt, dann passieren zwei Dinge:
- Er wechselwirkt er mit der Materie der Sonne, wird dadurch (mehr oder minder schnell) abgebremst und kommt de Sonne immer näher.
- Je näher er der Sonne kommt, desto heißer wird er. Schließlich wird er eingeschmolzen und "in Plasma verwandelt".

Wo die Grenze liegt, bei der dieses in Gang kommt, kann ich nicht genau sagen. Ich vermute aber, dass dies schon etwas "außerhalb des Sonnenradius", etwa in der Sonnen-Korona der Fall sein könnte.

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Gravitationsgleichung und Rotation 11 04. 2017 21:56 #13388

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Gravitationsgleichung und Rotation 12 04. 2017 11:23 #13397

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stargazer schrieb: https://de.wikipedia.org/wiki/Roche-Grenze

Ja, genau. In diese Richtung habe ich gedacht. Interessant finde ich, dass die Überreste des Satelliten auf einem Ring verbleiben und nicht von der Zentralmasse verschluckt werden.

Der Roche-Radius ist von der Winkelgeschwindigkeit abhängig. Wenn man diese erhöht, also den Drehimpuls vergrößert, nähert sich der Satellit der Zentralmasse an.
Wenn dann zusätzlich der Radius der Zentralmasse sehr klein ist wie bei einem schwarzen Loch, dann geht die Winkelgeschwindigkeit gegen Unendlich.

Es gibt neben der Stabilität des Satelliten weitere Phänomene, die dem Spiel ein Ende bereiten können.
- die relativistische Begrenzung der Winkelgeschwindigkeit durch den Lorentzfaktor.
- die Unwucht, die der Satellit an der Zentralmasse verursacht.

Wenn man all diese Effekte vernachlässigt, muss es trotzdem einen Mechanismus geben, der den Drehimpuls des Satelliten bei Annäherung nicht gegen Unendlich gehen läßt, denn die Stabilität des Gesamtsystems ist deutlich größer, wenn der Drehimpuls des Satelliten zumindest teilweise auf die Zentralmasse übergeht, wie bei einem Doppelstern.

Vielleicht muss ich die ursprüngliche Frage nach der Grenze zwischen Zentralmasse und Planet umformulieren: Wann wird ein Planet zum Doppelstern ?
Aus unserer Lösung der Bewegungsgleichung geht das leider nicht hervor.

Die Lösung der Bewegungsgleichung widerspricht sogar der Roche-Grenze. In der Bewegungsgleichung wird der Radius mit dem Drehimpuls größer. Die Roche-Grenze rückt mit Vergrößerung des Drehimpulses aber an die Zentralmasse heran.
Ich muss da nochmal drüber nachdenken.

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Gravitationsgleichung und Rotation 12 04. 2017 11:45 #13398

Dick schrieb: Vielleicht muss ich die ursprüngliche Frage nach der Grenze zwischen Zentralmasse und Planet umformulieren: Wann wird ein Planet zum Doppelstern ?

Genau dann wenn der Planet ähnlich massiv ist wie die Zentralmasse. Dann haben wir kein Zentralmassenproblem mehr, sondern ein Zweikörperproblem und beide drehen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt. Dieser liegt jetzt aber mindestens ausserhalb der ehemaligen Zentralmasse. Bei Massengleichheit genau in der Mitte der beiden Körper.

Dick schrieb: Aus unserer Lösung der Bewegungsgleichung geht das leider nicht hervor.

Kann ja auch nicht, da wir nicht ganz korrekt waren. Wir hätten korrekterweise statt der Planetenmasse die reduzierte Masse einsetzen müssen. Lies auch nochmal bei Wiki nach.

...ach und gib mir mit der exakten Lösung der BGL noch ein bisschen Zeit. Hab inzwischen Einsteins originalen Rechenweg, versteh ihn aber noch nicht.

Gruss
Michael

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