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Gravitationsgleichung und Rotation 28 02. 2017 20:00 #12345

Wie genau die Planeten spazieren gegangen sind, weiß man denke ich nicht. Man kann ja nur mögliche Szenarien simulieren.

Kürzlich gab es Berichte, dass Uranus und Neptun ihre Positionen getauscht haben. Der verlinkte Bericht hier beinhaltet keinen Positionstausch.

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Gravitationsgleichung und Rotation 28 02. 2017 20:34 #12348

Dick schrieb: \( r = const / (m^2MG) \)
Das bedeutet, dass ein Planet eine Umlaufbahn mit einem definierten Radius einnimmt. Er kann sich also stationär nicht frei im Sonnensystem bewegen.

Ich verstehe nicht wie sich diese Aussage damit verträgt das Venus und Erde annähernd gleiche Masse aber unterschiedliche Umlaufbahnen haben.

Das Ergebnis bedeutet nur, das eine einmal eingenommene Bahn stabil ist bis sie durch dritte Eniflüsse gestört wird.
Es bedeutet nicht, das die Bahn aufgrund der Masse festgelegt ist.

2-Körperproblem ist einfach. Vielleicht zu einfach (im Sinne von zu stark vereinfacht)

PS:
Wie verträgt sich \( r = const / (m^2MG) \) eigentlich damit das auch Ellipsen stabil sind?

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Gravitationsgleichung und Rotation 28 02. 2017 22:28 #12358

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Merilix schrieb: Ich verstehe nicht wie sich diese Aussage damit verträgt das Venus und Erde annähernd gleiche Masse aber unterschiedliche Umlaufbahnen haben.

Nicht die Masse allein bestimmt die Umlaufbahn. Hinter 'const' verbirgt sich der Anfangsimpuls, den der Planet bei seiner Entstehung oder beim Eintritt ins Sonnensystem hatte.

Merilix schrieb: Das Ergebnis bedeutet nur, das eine einmal eingenommene Bahn stabil ist bis sie durch dritte Eniflüsse gestört wird.

Die einmal eingenommene Bahn ist aber nicht beliebig. Alles in der Physik hat doch seinen Grund.

Merilix schrieb: Wie verträgt sich \( r = const / (m^2MG) \) eigentlich damit das auch Ellipsen stabil sind?

Dies ist der stationäre Radius. Auf diesem findet bei der Ellipse die Schwingung zwischen Zentrifugal- und Massenkraft statt.

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Gravitationsgleichung und Rotation 28 02. 2017 22:48 #12359

Dick schrieb:

Merilix schrieb: Ich verstehe nicht wie sich diese Aussage damit verträgt das Venus und Erde annähernd gleiche Masse aber unterschiedliche Umlaufbahnen haben.

Nicht die Masse allein bestimmt die Umlaufbahn. Hinter 'const' verbirgt sich der Anfangsimpuls, den der Planet bei seiner Entstehung oder beim Eintritt ins Sonnensystem hatte.

Dazu kommen dann noch die Impulse die der Planet hin und wieder von seinen Nachbarn übertragen bekommt. Es ist das const das mich da irritiert.

Dick schrieb:

Merilix schrieb: Wie verträgt sich \( r = const / (m^2MG) \) eigentlich damit das auch Ellipsen stabil sind?

Dies ist der stationäre Radius. Auf diesem findet bei der Ellipse die Schwingung zwischen Zentrifugal- und Massenkraft statt.

Diese Schwingungen sind nicht mehr const. Und schon bekommt man eine Dynamik ins System die zusammen mit der Dynamik der Nachbarschaft der ganzen schönen 2-Körper-Physik mittel oder langfristig die Zunge rausstreckt und u.U. etwas ganz chaotisches macht^^

PS:
Die letzte Bemerkung ist nicht ganz bierernst gemeint aber ganz ausser Acht lassen kann man das wohl nicht.

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Gravitationsgleichung und Rotation 01 03. 2017 13:09 #12378

Zunächst nochmal die saubere Herleitung der Newton'schen Bewegungsgleichung für Planeten (3):
\[m*a = \sum_{n=0}^N F_{n}\]
Als Kräfte haben wir die Anziehungskraft der Sonne und die Zentrifugalkraft, die sich im stationären Fall aufheben:
\[m_{Planet}*\ddot{r} = -\frac{G*m_{Planet}*m_{Sonne}}{r^{2}}+m_{Planet}*\omega^{2}*r\]
Durch die Planetenmasse lässt sich kürzen (4):
\[\ddot{r} = -\frac{G*m_{Sonne}}{r^{2}}+\omega^{2}*r\]
Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, aus der sich durch Integration die (unendlich grosse) Anzahl an Bahngleichungen der Planeten ergibt, die jeweils unterschiedliche Anfangsbedingungen (Ort, Winkelgeschwindigkeit) besitzen. Die Anfangsbedingungen bzw. Integrationskonstanten ergeben sich bei der Lösung der Differentialgleichung. Gesucht ist also die Bahngleichung eines Planeten:
\[r(t) = ?\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 01 03. 2017 17:57 #12382

Michael D. schrieb: Zunächst nochmal die saubere Herleitung der Newton'schen Bewegungsgleichung für Planeten:
\[m*a = \sum_{n=0}^N F_{n}\]
Als Kräfte haben wir die Anziehungskraft der Sonne und die Zentrifugalkraft, die sich im stationären Fall aufheben:
\[m_{Planet}*\ddot{r} = -\frac{G*m_{Planet}*m_{Sonne}}{r^{2}}+m_{Planet}*\omega^{2}*r\]


So kann man aber nicht rechnen. Entweder Du setzt die beiden Kräfte gleich (unter der Annahme einer Kreisbahn) und das Keplergesetz T2 / R3 gleich konstant kommt raus.

Oder Du rechnest F = m*a und dann kann man nur die Gravitationskraft nehmen. Die Ellipsenbahn, die dabei herauskommt, ist die Folge der Gravtationskraft.

Andernfalls hättest Du mit
\[m_{Planet}*\ddot{r} = -\frac{G*m_{Planet}*m_{Sonne}}{r^{2}}+m_{Planet}*\omega^{2}*r = 0\]
eine unbeschleungte Kreis- oder Ellipsen-förmige Bewegung, was physikalisch unmöglich ist.

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Gravitationsgleichung und Rotation 01 03. 2017 20:46 #12385

Aber natürlich kann man so rechnen. Die Herleitung ist hieb- und stichfest. Bei Einwänden bitte versuchen, Zeile für Zeile zu widerlegen.

ClausS schrieb: Andernfalls hättest Du mit
\[m_{Planet}*\ddot{r} = -\frac{G*m_{Planet}*m_{Sonne}}{r^{2}}+m_{Planet}*\omega^{2}*r = 0\]
eine unbeschleungte Kreis- oder Ellipsen-förmige Bewegung, was physikalisch unmöglich ist.


Also ich habe das nicht gleich "0" gesetzt.

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Gravitationsgleichung und Rotation 01 03. 2017 22:25 #12387

Sorry, ich hatte r als Vektor und nicht als Radialkoordinate gesehen.

Eine Frage habe ich dennoch: Betrachtest Du Omega als Konstante?

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Gravitationsgleichung und Rotation 02 03. 2017 11:55 #12395

Hi Michael D.

hab ich mir das in etwa so vorzustellen?
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grüße seb

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Gravitationsgleichung und Rotation 02 03. 2017 14:54 #12403

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Omega ist wie r eine unabhängige Variable. Zwei Variable - eine Bewegungsgleichung, da kann es keine Lösung geben.

Aber es gibt noch zwei weitere Bedingungen, die wir nutzen können: die Drehimpuls- und Energieerhaltung
\( L = m \cdot r^2\omega = const \)
\( E = m \cdot r^2\omega^2 = const \)
Wenn man diese Gleichungen nach \( \omega \) auflöst und in die stationäre Bewegungsgleichung ( \( \ddot r = 0 \) ) einsetzt, erhält man:
\( r = \frac{L^2}{m^2MG} \) und

\( r = \frac{mMG }{ E} \)

Was sagt uns das ? Ist das nicht ein Widerspruch ?

Betrachten wir einen Satelliten in der geostationären Umlaufbahn der Erde und bremsen diesen ab. Was passiert ?
Der Drehimpuls wird verringert, die Zentrifugalkraft fällt ab, die Erdanziehung überwiegt und der Satellit nähert sich der Erde. Der Radius der Umlaufbahn wird kleiner.
Andererseits nimmt die kinetische Energie ab, die Umlaufgeschwindigkeit fällt und der Radius der Umlaufbahn nimmt zu.

Mein Gefühl sagt mir, dass der Satellit zur Erde stürzt. Was ist dann aber mit der Energieerhaltung ? Irgendetwas stimmt hier nicht.
Die stationäre Energie des umlaufenden Satelliten scheint in der geostationären Umlaufbahn ein Maximum zu haben. So als ob es einen gravitativen Quanteneffekt gäbe.

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Gravitationsgleichung und Rotation 02 03. 2017 15:29 #12404

Ihr solltet mal begreifen, dass man eine Differentialgleichung nicht einfach gleich "0" setzten kann, wenn auf der rechten Seite keine "0" steht. Warum habe ich mir die Mühe der Herleitung gemacht?

Also: Stationär heisst nicht! zwangsläufig "konstante Winkelgeschwindigkeit". Das ist nur bei einer Kreisbewegung der Fall, nicht aber bei Ellipsen. Konstant ist nur der Drehimpuls. Das können wir benutzen, um die nicht konstante Winkelgeschwindigkeit aus der Bewegungsgleichung zu eliminieren:
\[\ddot{r}=-\frac{G*m_{Sonne}}{r^{2}}+\frac{L^{2}}{m_{Planet}^{2}*r^{3}}\]
Als Lösung für r ergibt sich die Bahnkurve eines Planeten (Kreise und Ellipsen). Und das, ohne die Gleichung gleich "0" zu setzen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 02 03. 2017 17:42 #12408

Hi Dick

interessant,
wirkt sich möglicherweise eine Verringerung von \( \omega \) bei der Drehimpulserhaltung ( \( \omega \) ) schwächer aus als bei der Energieerhaltung ( \(\omega ^{2} \) ) ? Kreuzen sich da Kurven an der stationären Umlaufbahn? Oder hat das keine Auswirkung? Ich weiss es nicht.

viele grüße

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Gravitationsgleichung und Rotation 02 03. 2017 17:55 #12409

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Es ist alles ok, was du sagst.
Als Ergänzung: für mich ist die Ellipsenbewegung eine Überlagerung einer Kreisbewegung mit einer Schwingung mit \( \epsilon^2 \cdot cos^2(\omega t) \).
\( \epsilon = e/a \) also Exzentrizität durch lange Halbachse einer Ellipse.
Der Drehimpulserhalt gilt für jeden Punkt, also instationär.
Der Energieerhalt gilt nur für die 'stationäre' Kreisbewegung oder nur in den Punkten mit \( cos(\omega t) = 0 \).

Es bleibt das Paradox, dass die Energie zum Mittelpunkt steigt, während der Drehimpuls abfällt. Da habe ich zur Zeit einen Hänger.

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Gravitationsgleichung und Rotation 03 03. 2017 11:58 #12419

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Dick schrieb: Es bleibt das Paradox, dass die Energie zum Mittelpunkt steigt, während der Drehimpuls abfällt.

So paradox ist das nicht, wenn man sich klar macht, dass \( E = L \omega \) und \( \omega \approx 1/r^2 \) ist.

Irgendwann wächst \( \omega \) zum Mittelpunkt hin nicht mehr mit 1/r^2 wie eine Potentialrotation, sondern bleibt wie eine Festkörperrotation konstant. Das ist, wie seb110 vermutet, wohl der Punkt, in dem sich die Ausdrücke in der Bewegungsgleichung mit 1/r^2 und 1/r^3 schneiden. Auf die Erde bezogen ist das nicht die Erdoberfläche, sondern vermutlich die geostationäre Umlaufbahn.

Wenn man eine Lösung für die Bewegungsgleichung in r hat, kann man diese in der ursprünglichen Bewegungsgleichung einsetzen und \( \omega \) bestimmen. Dann wird man sehen, wie der Verlauf von \( \omega \) zum Massenmittelpunkt ist. Ich vermute, dass \( \ddot r \) eine entscheidende Rolle spielt, weil er nach Einstein sowohl eine Feldkonstante als auch eine radiale Beschleunigung als auch eine radiale Krümmung darstellt.

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Gravitationsgleichung und Rotation 03 03. 2017 12:26 #12421

Dick schrieb: Irgendwann wächst \( \omega \) zum Mittelpunkt hin nicht mehr mit 1/r^2 wie eine Potentialrotation, sondern bleibt wie eine Festkörperrotation konstant. Das ist, wie seb110 vermutet, wohl der Punkt, in dem sich die Ausdrücke in der Bewegungsgleichung mit 1/r^2 und 1/r^3 schneiden. Auf die Erde bezogen ist das nicht die Erdoberfläche, sondern vermutlich die geostationäre Umlaufbahn.

Mit Sicherheit nicht!
Das wäre schon ein ganz großer Zufall wenn die Eigenrotation der Erde irgend etwas mit diesem speziellen Radius zu tun hätte. Die Erde könnte bei gleicher Masse, bei gleichem Gravitationspotential locker doppelt so schnell rotieren (hat sie früher mal getan). Dann wäre der geostationäre Orbit viel näher als jetzt

Gruß
Merilix

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Gravitationsgleichung und Rotation 04 03. 2017 18:02 #12436

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Michael D. schrieb: Ihr solltet mal begreifen, dass man eine Differentialgleichung nicht einfach gleich "0" setzten kann, wenn auf der rechten Seite keine "0" steht. Warum habe ich mir die Mühe der Herleitung gemacht?
\[\ddot{r}=-\frac{G*m_{Sonne}}{r^{2}}+\frac{L^{2}}{m_{Planet}^{2}*r^{3}}\]

Verfolgen wir das mal konsequent weiter. Wenn \( \ddot r \) auch bei einer Kreisbahn nicht Null ist und die Differentialgleichung in ihrer Form erhalten bleibt, und wenn r eine Funktion von t ist, dann gibt es auch ein \( \dot r \). Wie gesagt, \( \ddot r \) ist sowohl Beschleunigung als auch Feldkonstante als auch Krümmung. \( -\dot r \) ist demnach eine Radialgeschwindigkeit in Richtung Massenmittelpunkt.

Meine Frage ist jetzt, was passiert im Mittelpunkt, wenn von allen Seiten \( \dot r \) radial auf diesen Punkt zuströmt ? Energievernichtung, Raumvernichtung ? Eher nicht !
Ich denke dabei an den Ausguß einer Badewanne. Es bildet sich ein Wirbel, der in einem speziellen Radius die maximale Drehgeschwindigkeit hat.
Übertragen auf das Sonnensystem "fließt der Radius in die Sonne hinein". Ab einem speziellen Radius wächst \( \omega \) zum Mittelpunkt hin nicht mehr quadratisch an, sondern bleibt konstant und die Geschwindigkeit nimmt linear ab. Um diesen speziellen Radius berechnen zu können, benötigen wir eine zusätzliche Bedingung. Diese könnte wie folgt lauten:
Unter der Annahme, dass die Radialgeschwindigkeit \( \dot r \) proportional zu 1/r ist und das Integral von \( \dot r \) um den Mittelpunkt herum proportional zu \( r^2 \pi \) ist, ergibt sich ein Schnittpunkt bei dem speziellen Radius. Mit anderen Worten: die "Menge", die \( \dot r \) in Richtung Mittelpunkt transportiert, ist einerseits abhängig von der Radialgeschwindigkeit und andererseits von der "Mittelpunktsfläche". Die Bedingung ist also quasi die maximale "Schluckfähigkeit" des Zentrums.

Folgt man der Bewegungsgleichung, dann ist r eine Funktion der Zeit. Man darf sich r demnach nicht in äquidistanten Abschnitten vorstellen, sondern nach aussen hin in immer größeren Abschnitten. Wie der Riese bei Lukas, dem Lokomotivführer, der immer größer wurde, je weiter er entfernt war. \( \ddot r \) als Krümmung des Radius wird immer kleiner. Nach innen ist der Radius immer mehr gekrümmt, das heißt, er ist nicht wirklich radial, sondern spiralförmig.

Was wir brauchen, ist eine Lösung für r in der Bewegungsgleichung. Eine Differentialgleichung dieser Art habe ich noch nicht gefunden.
Vielleicht hat ja jemand eine Idee.

Bin ich noch verständlich ? Manchmal verstehe ich meine eigenen Texte nicht mehr, wenn ich sie lange nicht gesehen habe. Also keine Scheu vor Rückfragen oder sachlicher Kritik.

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Gravitationsgleichung und Rotation 05 03. 2017 13:40 #12448

Dick schrieb: Was wir brauchen, ist eine Lösung für r in der Bewegungsgleichung.

Ja, halten wir das mal fest. Und bleiben wir erstmal bei Newton, den Einstein bringen wir später ins Spiel, für die Periheldrehung des Merkur.

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Gravitationsgleichung und Rotation 06 03. 2017 15:21 #12469

Ausgangslage:
\[\ddot{r}=-\frac{G*m_{Sonne}}{r^{2}}+\frac{L^{2}}{m_{Planet}^{2}*r^{3}}\]
Vereinfachen wir die Gleichung zunächst optisch, indem wir die Konstanten zu den Buchstaben "a" und "b" zusammenfassen:
\[\ddot{r}=-\frac{a}{r^{2}}+\frac{b}{r^{3}}\]
Wenn wir diese Gleichung integrieren wollen, müssen wir uns umgekehrt fragen, welche Terme abgeleitet die obige Gleichung ergeben:
\[\frac{d}{dt}\dot{r}=\frac{d}{dt}?+\frac{d}{dt}?\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 07 03. 2017 11:34 #12493

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Michael D. schrieb:
\[\ddot{r}=-\frac{a}{r^{2}}+\frac{b}{r^{3}}\]


Ehrlich gesagt, ich fühle mich mit der numerischen Lösung dieser DGL überfordert. Aber ich habe versucht, das Problem grafisch anzugehen.

Zunächst habe ich a=b=1 gesetzt, die Differenz der Kurven 1/r^2 und 1/r^3 grafisch dargestellt und das Ergebnis zweimal integriert (besser gesagt, die Kurve gesucht, die nach zweimaliger Ableitung die Form der Differenzkurve ergibt). Mir ist klar, dass das nicht ganz sauber ist, weil ich die Differenz über r aufgetragen habe, aber über t integriere. Ich impliziere also den Zusammenhang r ~ t.

Das Ergebnis hat die folgende Form:

\( r = t + \sqrt{t} \cdot e^{-t} \)

Der Radius beginnt in Null und läuft in größerer Entfernung auf eine Gerade proportional t hinaus. Dazwischen macht er einen Schlenker mit einem Wendepunkt. In diesem Wendepunkt durchläuft \( \ddot r \) eine Nullstelle und wechselt das Vorzeichen !

Diese Kurve hat bis auf den Nullpunkt keine Singularität, was bemerkenswert ist, weil - wenn ich das richtig verstanden habe - die Gravitationsgleichung zwischen einer inneren und äußeren Lösung unterscheidet und sich an diesem Schnittpunkt eine Singularität ergibt.

Leider kann man diese Lösung nicht einfach in die Bewegungsgleichung einsetzen und die Konstanten bestimmen. Es ist zu komplex.
Trotzdem scheint mir die Lösung qualitativ plausibel zu sein.

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Gravitationsgleichung und Rotation 07 03. 2017 15:36 #12497

Zwei Ableitungsversuche:
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{a}{r}\right)=-\frac{a}{r^{2}}*\dot{r}\]
\[\frac{d}{dt}\left(-\frac{b}{2r^{2}}\right)=\frac{b}{r^{3}}*\dot{r}\]
Leider fangen wir uns bei beiden Abeitungsversuchen ein \( \dot r \) durch die Kettenregel ein. Dann müssen wir eben unsere ursprüngliche Gleichung mit \( \dot r \) erweitern und erhalten:
\[\ddot{r}*\dot{r}=-\frac{a}{r^{2}}*\dot{r}+\frac{b}{r^{3}}*\dot{r}\]
Jetzt ist nur noch die Frage, welche Ableitung das Produkt vor der Klammer ergibt:
\[\frac{d}{dt}?=\ddot{r}*\dot{r}\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 07 03. 2017 17:22 #12505

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Michael D. schrieb: Jetzt ist nur noch die Frage, welche Ableitung das Produkt vor der Klammer ergibt:
\[\frac{d}{dt}?=\ddot{r}*\dot{r}\]

\[\frac{d}{dt}(1/2 \cdot \dot r^2)=\ddot{r}*\dot{r}\]

Das bringt uns aber noch nicht wirklich weiter, weil wir nochmal integrieren müssen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 08 03. 2017 12:38 #12526

Erstmal nicht. Allerdings können wir jetzt schreiben:
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\dot{r}^{2}-\frac{a}{r}+\frac{b}{2r^{2}}\right)=0\]
Und integrieren:
\[\frac{1}{2}\dot{r}^{2}-\frac{a}{r}+\frac{b}{2r^{2}}=\epsilon\]
\( \epsilon \) hat die Einheit [m²/s²], also Energie/Masse, d.h. eine spezifische Energie. Wegen d/dt (...) = 0 ist die spezifische Energie eines Planeten also konstant. Kein Wunder, wir haben diese Gleichung ja aus einem Kräftegleichgewicht hergeleitet.

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Gravitationsgleichung und Rotation 09 03. 2017 13:11 #12543

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Michael D. schrieb:
\[\frac{1}{2}\dot{r}^{2}-\frac{a}{r}+\frac{b}{2r^{2}}=\epsilon\]

Ich habe nochmal eine grafische Lösung probiert (siehe Anhang).
Also, die Gleichung oben nach \( \dot r \) aufgelöst und eine Kurve gesucht, die in ihrer Ableitung prinzipiell der Kurve von \( \dot r \) ähnlich ist.
In der Zeichnung ist die rote \( \dot r \) - Kurve :
\( \dot r = \sqrt{ \frac{3}{t} - \frac{1}{t^2} } \)
und die gelbe Kurve der approximierte Radius:
\( r = t \cdot (0.5 - 5 \cdot e^{-2t} ) \)
Die Koeffizienten sollen zunächst mal keine Rolle spielen. Es soll nur gezeigt werden, dass es prinzipiell eine Lösung dieser Bewegungsgleichung gibt.
Sie hat im Prinzip die Form
\(r = t \cdot (1+e^{-t} ) \)
Anhänge:

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Gravitationsgleichung und Rotation 10 03. 2017 18:45 #12602

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Hallo Michael,
ich denke, dass wir es uns unnötig schwer gemacht haben, als wir in der Bewegungsgleichung \( \omega \) durch r ersetzt haben.
Starten wir doch nochmal an diesem Punkt:

\( \ddot r = -\frac{a}{r^2} + \omega^2 r \)

Diese Gleichung kann man leichter integrieren. Man muss \(\omega\) = const setzen:

\( \dot r = \frac{2a}{r} + \frac{1}{2} \omega^2 r^2 \)

Und nochmal integrieren:

\( r = 2a \cdot ln(r) + \frac{1}{6} \omega^2 r^3 \)

Jetzt kann man \(\omega\) durch b/r^2 ersetzen und erhält

\( r = 2a \cdot ln(r) + \frac{1}{6} \frac{b}{r} \)

Wir haben jetzt d/dr und d/dt gleichgesetzt ! Also r ~ t angenommen.
Im Anhang sind die zugehörigen Kurven gezeigt.

Was meinst du dazu ?

Grüße
Dick
Anhänge:

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Gravitationsgleichung und Rotation 10 03. 2017 21:59 #12606

Dick schrieb: Man muss \(\omega\) = const setzen.

Das geht nur bei Kreisbahnen. Die Dgl deckt.aber auch Ellipsen und sogar nicht geschlossene Bahnen ab.

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Gravitationsgleichung und Rotation 11 03. 2017 11:24 #12614

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Michael D. schrieb:

Dick schrieb: Man muss \(\omega\) = const setzen.

Das geht nur bei Kreisbahnen. Die Dgl deckt.aber auch Ellipsen und sogar nicht geschlossene Bahnen ab.

Du hast recht. Andererseits sind \(\omega (t)\) und r(t) unabhängige Variablen, die nur durch den Drehimpuls miteinander gekoppelt sind.

Wenn folgendes gilt:
\( \frac{d^2}{dt^2}f(r) = \frac{d^2}{dr^2}f(r) \)
dann ist das Verfahren als Integration über r zulässig.

Ich bin mir nicht sicher, ob man
\( F = m \cdot \ddot r = m \cdot \frac{d^2}{dr^2}f(r) \)
setzen kann. Immerhin ist eine radiale Beschleunigung immer mit einer Radiusänderung verbunden.

Kann man diskutieren, denke ich.

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Gravitationsgleichung und Rotation 11 03. 2017 15:32 #12625

Dick schrieb: \( r = 2a \cdot ln(r) + \frac{1}{6} \frac{b}{r} \)

Das Problem ist, \( r \) in einem Term zu isolieren. Wie willst Du hier ausklammern?

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Gravitationsgleichung und Rotation 12 03. 2017 11:49 #12639

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Michael D. schrieb:

Dick schrieb: \( r = 2a \cdot ln(r) + \frac{1}{6} \frac{b}{r} \)

Das Problem ist, \( r \) in einem Term zu isolieren. Wie willst Du hier ausklammern?

Es gibt ein begriffliches Problem beim Radius. Wir müssen differenzieren.

1) Der mit \(\omega\) umlaufende Radius, der von der Zeit t abhängig ist und den ich mit \( r_0\) bezeichne, hat die folgende Bewegungsgleichung:

\( \ddot r_0 = f(r(t)) = -\frac{a}{r^2}+\omega^2 r \)
Die Lösung ist \( r_0 (t) \).

2) Der in eine Richtung zeigende Radius zu einem festen Zeitpunkt, der verschiedene Umlaufbahnen markiert und den ich mit \( r_i \) bezeichne. Die Bewegungsgleichung ist:

\( r_i'' = f(r(t=0)) = -\frac{a}{r^2}+\omega^2 r \)
Die Lösung ist \( r_i (r) \). Hier kann ich die Beziehung zwischen \(\omega\) und \( r\) einsetzen und erhalte:

\( r_i = 2a \cdot ln(r) + \frac{1}{6} \frac{b}{r} \)

\( r_i \) ist der über die Kräfte in radialer Richtung gedehnte oder gestauchte Radius, der von der 'Krümmung' \( r_i'' \) verursacht wird.

Ist das verständlich ?

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Gravitationsgleichung und Rotation 12 03. 2017 17:07 #12647

Nein, ist für mich nicht verständlich. Gleichungen mit verschiedenen "r" machen aus meiner Sicht keinen Sinn.
Folgendes muss doch Grundlage sein (mit \( \omega = \dot{\phi} \)):

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 13 03. 2017 10:56 #12693

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Michael D. schrieb: Gleichungen mit verschiedenen "r" machen aus meiner Sicht keinen Sinn.
Folgendes muss doch Grundlage sein (mit \( \omega = \dot{\phi} \))

\( r(t,\phi) \) beschreibt eine einzige Umlaufbahn. Man kann aber auch mit anderen Startbedingungen (Anfangsimpuls, Anfangsradius) bei gleicher Masse und gleichem \(\omega\) eine andere Umlaufbahn darstellen. Diese ist bei gleichem Winkel und zur selben Zeit nur vom Radius abhängig. Sie ist auch instabil, was sich in einer anderen Beschleunigung äußert. Soweit dürfte das alles noch klar sein.

Der nächste Schritt ist etwas heikel. Wir können durch Integration über r aus der Beschleunigung/ Krümmung einen Radius berechnen, der mit dem, der die Beschleunigung bestimmt hat, nicht übereinstimmt. Der Radius ist verzerrt. Wie stellt man das mathematisch dar ?
Ich habe ist mit dem Index i versucht, offenbar mit wenig Erfolg. Eine andere Möglichkeit wäre eine iterative Vorgehensweise. Man kann das Ergebnis als Anfangsbedingung wieder einsetzen. Ich fürchte nur, dass das nicht konvergiert.

Die zweite Ableitung von r ist nach Newton eine Beschleunigung. Nach Einstein kann sie auch eine Krümmung sein, die den Raum verzerrt. Der Radius ist dann gestreckt oder gestaucht. Wie geht man damit mathematisch um ?

Wenn man mit \( r(t,\phi) \) nur eine einzige Umlaufbahn betrachtet, dann darf man nicht über r integrieren, sondern über t. Das geht nicht, weil man die Abhängigkeit von r und t nicht kennt. Die Bewegungsgleichung eines Feder/Masse -Systems wird ja auch nicht integriert, sondern man setzt eine bekannte Lösung in die Gleichung ein und bestätigt diese nur. Das ist bei einem rotierenden System schwieriger. Man muss sich eine mögliche Lösung überlegen und ausprobieren.

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