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Gravitationsgleichung und Rotation 13 03. 2017 11:14 #12695

Dick schrieb: \( r(t,\phi) \) beschreibt eine einzige Umlaufbahn.

Nein, natürlich nicht! Die Umlaufbahn in der Skizze ist natürlich nur beispielhaft zu verstehen. \( r(t, \phi) \) beschreibt eine ganze Kurvenschar (Ellipsen, Kreise usw.). Ich dachte, das wäre klar. Die verschiedenen Anfangsbedingungen werden durch die Integrationskonstanten abgedeckt und sind frei wählbar. Daher die Kurvenschar.

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Gravitationsgleichung und Rotation 14 03. 2017 12:02 #12732

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Ich bin immer noch der Meinung, dass, wenn \(\ddot r = f(t,\phi,r) \)ist, die abgeleiteten Größen auch \( f(t,\phi,r)\) sind. Aber ich will das nicht weiter vertiefen.

Ein Gedanke kam mir noch, nämlich dass die Bewegungsgleichung bei rotierenden Systemen in dieser Form nicht zulässig oder zumindest nicht zweckmäßig ist. Die Beschleunigung wird aus der Differenz der Fliehkraft und Gravitation ermittelt, besser ist das Verhältnis beider Kräfte. Bei der Differenz legen wir das Nullniveau auf den mittleren Kreisradius der Umlaufbahn, beim Verhältnis beziehen wir den aktuellen Radius auf diesen mittleren Kreisradius. Das Nullniveau ist dann im Mittelpunkt. Das ergibt die folgende Bewegungsgleichung:

\( \ddot r = \frac { -\frac{G \cdot m_{sonne} }{r^2} }{ \frac{L^2 }{m_Planet^2 \cdot r^3} }\)

Ich erwähne das, weil diese Form auf eine Standard-Schwingungsgleichung mit der Lösung \( r = e^{(\omega t)} \) führt. Ganz einfach.

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Gravitationsgleichung und Rotation 14 03. 2017 12:29 #12733

Dick schrieb: Ein Gedanke kam mir noch, nämlich dass die Bewegungsgleichung bei rotierenden Systemen in dieser Form nicht zulässig oder zumindest nicht zweckmäßig ist. Die Beschleunigung wird aus der Differenz der Fliehkraft und Gravitation ermittelt, besser ist das Verhältnis beider Kräfte...

Es ist ohne mathematische Hereitung und logische Begründung unzulässig, einfach die beiden Kräfte ins Verhältnis zu setzen. Die einfache Schwingungsgleichung, so wie Du sie geschrieben hast, kann nicht korrekt sein, denn sie deckt ja nur Kreisbahnen ab.

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Gravitationsgleichung und Rotation 14 03. 2017 13:59 #12734

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Michael D. schrieb: Die einfache Schwingungsgleichung, so wie Du sie geschrieben hast, kann nicht korrekt sein, denn sie deckt ja nur Kreisbahnen ab.

Nein, eine sinus-Schwingung. Eine sinus-Schwingung auf einer Kreisbahn, bei der kinetische Energie gegen potentielle ausgetauscht wird, ist eine Ellipse.

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Gravitationsgleichung und Rotation 14 03. 2017 16:11 #12735

Bitte mathematisch beweisen, sonst ist das inakzeptabel und jeder kann alles behaupten. Ausserdem verstösst dein Kraftverhältnis gegen Newton. Die Summe! aller Kräfte erzeugt die Beschleunigung, nicht das Verhältnis.

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Gravitationsgleichung und Rotation 14 03. 2017 17:37 #12737

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Michael D. schrieb: Ausserdem verstösst dein Kraftverhältnis gegen Newton. Die Summe! aller Kräfte erzeugt die Beschleunigung, nicht das Verhältnis.

Das wiederspricht Newton keineswegs. Ich beziehe die Kräftedifferenz nur auf eine andere Kraft.
\( \Delta F / F_{Bezug} = (F_2-F_1) / F_{Bezug} \)
Das ändert an der physikalischen Aussage nichts wesentliches.
In der Wahl der Bezugskraft bin ich frei. Es bietet sich der Mittelwert der beiden Kräfte an, aber ich wähle F1 und erhalte:
\( (F_2-F_1) / F_1 = F_2 / F_1 -1 \)
In der Bewegungsgleichung lasse ich die 1 weg und ändere damit das Nullniveau der Beschleunigung. Das ist plausibel, wenn man sich klar macht, dass es nicht um die Beschleunigung geht, die zu einer konstanten Kreisbahn führt, sondern nur um die zusätzliche Beschleunigung, die zu einer Schwingung um diese Kreisbahn führt.

Kreis - Ellipse ? Ich vergleiche das mit einem Pendel. In Nullage habe ich die höchste Geschwindigkeit, so wie der Planet in Sonnennähe am schnellsten ist. Bei größter Auslenkung ist beim Pendel die maximale potentielle Energie erreicht, vergleichbar mit dem weit entferntesten Punkt des Planeten. Die Energieerhaltung ist beim Planeten, anders als beim Pendel, nur im Mittel gewährleistet. Dieses Mittel entspricht einer konstanten Kreisbahn.

Beweisen kann ich das nicht, aber ist doch plausibel, oder nicht ?

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Gravitationsgleichung und Rotation 16 03. 2017 12:06 #12764

hi dick

...der Gesamtradius ( Amplitude x2 bei Kreisbewegung sonst bei Ellipse maximale Amplitude 1 plus minimale Amplitude 2 ) ist dann quasi eine Art Spitze-Spitze-Wert einer Schwingung?
Das was in dieser Grafik als "2" dargestellt ist:

de.wikipedia.org/wiki/Spitze-Spitze-Wert...le:Sinusspannung.svg

viele Grüße
seb110

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Gravitationsgleichung und Rotation 16 03. 2017 14:12 #12768

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seb110 schrieb: ...der Gesamtradius ( Amplitude x2 bei Kreisbewegung sonst bei Ellipse maximale Amplitude 1 plus minimale Amplitude 2 ) ist dann quasi eine Art Spitze-Spitze-Wert einer Schwingung?

Hi seb,
das habe ich jetzt nicht verstanden.
Wenn \(r_0\) der konstante Kreisradius um den gemeinsamen, wandernden Sonne/Planet-Schwerpunkt ist und r' der Gesamtradius (Ellipsenbahn), dann ist \(r' - r_0\) die 'elliptische Schwingung' mit der max. Amplitude im Aphel von \(r'_{max} - r_0\) und der min. Amplitude im Perihel von \(r'_{min} - r_0 \).
Im Bild ist die Kreisbahn die Nullinie.
Gruß,Dick

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Gravitationsgleichung und Rotation 16 03. 2017 14:26 #12769

Bei allem Enthusiasmus ist dennoch die Schritt für Schritt nachvollziehbare Mathematik der beste Weg der Argumentation. Also, die Ausgangslage war:
\[\frac{1}{2}\dot{r}^{2}-\frac{a}{r}+\frac{b}{2r^{2}}=\epsilon\]
Multiplikation mit 2 ergibt:
\[\dot{r}^{2}-\frac{2a}{r}+\frac{b}{r^{2}}=2\epsilon\]
Mit
\[\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\phi}\frac{d\phi}{dt}=\frac{dr}{d\phi}\dot{\phi}=\frac{dr}{d\phi}\frac{L}{mr^{2}}\]
und \(a=G*M\) sowie \(b=\frac{L^{2}}{m^{2}}\) erhalten wir:
\[\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^{2}=\frac{r^{4}}{b}*\left(2\epsilon+\frac{a}{r}-\frac{b}{2r^{2}}\right)\]
Jetzt haben wir erstmal eine Dgl, nur in Abhängigkeit vom Winkel \(\phi \). Mit der Lösung dieser Dgl lassen sich schöne Bahnkurven zeichnen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 16 03. 2017 17:37 #12777

hi Dick

ich versuche das mit viel Geduld nachzuvollziehen. :)

seb123.bplaced.net/Formel%20PNG%20Form/ZeichnungSinus.pdf

Ich schwanke immer noch zwischen den Konstanten a und b und deren Einfluss auf r. (so wie Michael D. das beschrieben hat. "Die verschiedenen Anfangsbedingungen werden durch die Integrationskonstanten abgedeckt und sind frei wählbar. Daher die Kurvenschar.")

und wie r z.B. im Lennard Jones Potential verwendet wird.

de.wikipedia.org/wiki/Lennard-Jones-Potential

r geht dort quasi mit unterschiedlichen "Anfangs-Stärken" ein. Bei der Anziehung mit r hoch 6 und bei der Abstoßung mit r hoch 12. Auf Grund dieser "Phasenverschiebung" kann erst ein stabiler Potentialtopf entstehen.

Ich bin noch bei den Basics und versuche dran zubleiben. :)

viele Grüße
seb

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Gravitationsgleichung und Rotation 16 03. 2017 18:59 #12781

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Die 2 aus dem Nenner ist wohl verrutscht. Sie muss vor dem a stehen.
\[\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^{2}=\frac{r^{4}}{b}*\left(2\epsilon+\frac{2a}{r}-\frac{b}{r^{2}}\right)\]
Da hast du t durch \(\Phi\) ersetzt. Ich sehe noch keinen Fortschritt. Das Problem ist das Ausgangsniveau. r=1 wäre schön.

Was hältst du davon, diese Gleichung zu normieren und \(\epsilon=0\) zu setzen:
\[\dot{r}^{2}-\frac{2a}{r}+\frac{b}{r^{2}}=2\epsilon\]
\( \dot r^2 \) ist eine spezifische Energie. Man könnte sie mit \( \dot r_0^2 = b / r^2 \) normieren. Dann erhält man:
\( (\frac{\dot r}{\dot r_0} )^2 = \frac{ \frac{2a}{r} - \frac{b}{r^2} }{ \frac{b}{r^2} } \)
\( (\frac{\dot r}{\dot r_0} )^2 = 2a/b \cdot r - 1 \)
Jetzt kann man analog zu \(\epsilon\) alle Konstanten weglassen und hat es dann sehr einfach.

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Gravitationsgleichung und Rotation 16 03. 2017 19:15 #12782

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seb110 schrieb: seb123.bplaced.net/Formel%20PNG%20Form/ZeichnungSinus.pdf

Der Hänger ist wohl die Phasenverschiebung. Es gibt sie nicht. Im Mittel ist die Umlaufzeit die gleiche. Und die blaue Kurve (Kreisbahn) schwingt nicht, sondern bildet die Nullinie.

seb110 schrieb: und wie r z.B. im Lennard Jones Potential verwendet wird.

Das ist ein atomares Modell. Den Sprung von Planetenbahnen dahin würde ich noch nicht machen.
Aber im Prinzip sieht es ähnlich aus. Wir haben das Gravitationspotential mit GM/r und die kinetische Energie mit L^2/m^2 * 1/r^2 und bilden die Differenz, also jeweils zwei Potenzfunktionen im Nenner. Beide Kurven schneiden sich irgendwo. Das ergibt dann in Summe einen ähnlichen Kurvenverlauf.

Beim Lennard Jones Potential schwingt auch nichts. Das ist ja zunächst unser Problem bei Planetenbahnen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 16 03. 2017 19:43 #12783

Dick schrieb: Die 2 aus dem Nenner ist wohl verrutscht. Sie muss vor dem a stehen.

\[\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^{2}=\frac{r^{4}}{b}*\left(2\epsilon+\frac{2a}{r}-\frac{b}{r^{2}}\right)\]

Da hast Du natürlich recht. Als nächsten Schritt können wir die Wurzel ziehen:
\[\frac{dr}{d\phi}=\pm\frac{r^{2}}{\sqrt{b}}*\sqrt{\left(2\epsilon+\frac{2a}{r}-\frac{b}{r^{2}}\right)}\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 17 03. 2017 10:50 #12799

Dick schrieb: Die Energieerhaltung ist beim Planeten, anders als beim Pendel, nur im Mittel gewährleistet. Dieses Mittel entspricht einer konstanten Kreisbahn.

Beweisen kann ich das nicht, aber ist doch plausibel, oder nicht ?

Nö, das ist nicht plausibel. Warum sollten das bei Planeten anders als beim Pendel sein? Energieerhaltung gilt auch bei der Ellipse, und das nicht nur im Mittel sondern zu jeder Zeit. Apoapsis entspricht der maximalen Auslenkung des Pendels, Periapsis dem Nulldurchgang.

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Gravitationsgleichung und Rotation 17 03. 2017 18:09 #12810

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Merilix schrieb: Warum sollten das bei Planeten anders als beim Pendel sein? Energieerhaltung gilt auch bei der Ellipse, und das nicht nur im Mittel sondern zu jeder Zeit.

Die Umlaufgeschwindigkeit \( \omega \) ändert sich mit dem Radius. Dafür gibt es zwei mögliche Bedingungen, die Energieerhaltung oder die Impulserhaltung.
Nach der Energieerhaltung E = m*r^2*\( \omega^2 \) ist \( \omega \) ~ 1/r,
nach der Impulserhaltung L = m*r^2*\( \omega \) ist \( \omega \) ~ 1/r^2.
Eines von beiden geht nur.
Wegen der Stabilität der Umlaufbahn wählt man besser die Impulserhaltung als ständig wirkendes Kriterium. Die Energieerhaltung muss auch stimmen, aber nur im Mittel, weil der Planet im Sonnensystem ein Energiereservoir hat, das er anzapfen kann. So erkläre ich mir jedenfalls den Zusammenhang.

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Gravitationsgleichung und Rotation 17 03. 2017 18:41 #12812

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seb110 schrieb: ...der Gesamtradius ist dann quasi eine Art Spitze-Spitze-Wert einer Schwingung?

Ein Bild sagt mehr als tausend Worte. Nur ist das mit den Funktionseditoren schwierig, weil sie i.d.R. nur f(x) darstellen können. Mit Cinderella (ein geniales Tool) kann man auch Vektoren zeichnen.
Ein Kreis ist demnach [ x(t) , y(t) ] = [ cos(t) , sin(t) ]. Siehe Anhang.

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Zur x-Koordinate dieses Kreises habe ich die Schwingung 0.4*cos(t) (rote Kurve) hinzugefügt. Das Ergebnis ist die dargestellte Ellipse, die ich für die Darstellung noch in y um 0.7 gestaucht und in x um 0.8 verschoben habe, damit die Sonne im Nullpunkt verbleiben kann.

Ich will damit zeigen, dass aus Kreisbahn und Schwingung eine Ellipse entsteht.

Bei der Aufstellung der Bewegungsgleichung geht es mir darum, diese beiden Anteile sauber zu trennen. Wir haben zur Zeit eine Bewegungsgleichung für die Ellipse mit dem Radius \( r_E\). Wenn wir es schaffen, die Kreisbewegung mit \( r_0\) daraus zu eliminieren, bekommen wir eine einfache Schwingungsgleichung für \( r = r_E - r_0 \).
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Gravitationsgleichung und Rotation 17 03. 2017 20:29 #12819

Wir führen nun eine Separation der differentiellen Ausdrücke durch:
\[d\phi=\pm\frac{\frac{\sqrt{b}}{r^{2}}dr}{\sqrt{\left(2\epsilon+\frac{2a}{r}-\frac{b}{r^{2}}\right)}}\]
Und integrieren:
\[\phi+C_{2}=\pm\int\frac{\frac{\sqrt{b}}{r^{2}}dr}{\sqrt{\left(2C_{1}+\frac{2a}{r}-\frac{b}{r^{2}}\right)}}\]
\(C_{1}=\epsilon\) und \(C_{2}\) sind dabei die Integrationskonstanten.

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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 00:44 #12830

Dick schrieb:

Merilix schrieb: Warum sollten das bei Planeten anders als beim Pendel sein? Energieerhaltung gilt auch bei der Ellipse, und das nicht nur im Mittel sondern zu jeder Zeit.

Die Umlaufgeschwindigkeit \( \omega \) ändert sich mit dem Radius. Dafür gibt es zwei mögliche Bedingungen, die Energieerhaltung oder die Impulserhaltung.
Nach der Energieerhaltung E = m*r^2*\( \omega^2 \) ist \( \omega \) ~ 1/r,
nach der Impulserhaltung L = m*r^2*\( \omega \) ist \( \omega \) ~ 1/r^2.
Eines von beiden geht nur.

Dann muss mindestens eines von beiden falsch sein!

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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 00:58 #12832

Dick schrieb: Ich will damit zeigen, dass aus Kreisbahn und Schwingung eine Ellipse entsteht.

Bei der Aufstellung der Bewegungsgleichung geht es mir darum, diese beiden Anteile sauber zu trennen. Wir haben zur Zeit eine Bewegungsgleichung für die Ellipse mit dem Radius \( r_E\). Wenn wir es schaffen, die Kreisbewegung mit \( r_0\) daraus zu eliminieren, bekommen wir eine einfache Schwingungsgleichung für \( r = r_E - r_0 \).


Ähm... wird damit nicht das Pferd von hinten aufgezäumt? Das erinnert mich doch stark an die Epizykeltheorie aus vor-kopernikanischen Zeiten. Eine Theorie die mathematisch durchaus als richtig angesehen werden kann.

Kreisbahn+Schwingung funktioniert im Prinzip auch mit beliebiger Frequenz der "Schwingung", in einem gravitativen 2-Körper System kann deine "Schwingung" jedoch nur exakt die gleiche Frequenz haben wie die Kreisbahn selber. Wozu also eine Trennung?

Ich denke das führt in eine Sackgasse^^

PS: Eine Schwingung auf einer Kreisbahn ist ein Epizykel. Ein Kreis auf einer umlaufenden Kreisbahn.^^

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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 10:03 #12837

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Merilix schrieb: Kreisbahn+Schwingung funktioniert im Prinzip auch mit beliebiger Frequenz der "Schwingung", in einem gravitativen 2-Körper System kann deine "Schwingung" jedoch nur exakt die gleiche Frequenz haben wie die Kreisbahn selber.

Genauso ist es.
Eine doppelte Frequenz ist mathematisch möglich, aber nicht realistisch. Ich habe diese Lösung spasseshalber mal hier skiziert:

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Merilix schrieb: Wozu also eine Trennung?

Weil man dann mit dem Kreisradius eine Größe hat, die unabhängig vom Winkel ist.
Und weil die Schwingungsgleichung nur elegant zu lösen ist, wenn die Schwingung um die Nullage herum erfolgt. Versuch mal eine Schwingungsgleichung zu lösen, die eine zusätzliche Konstante enthält.
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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 11:42 #12840

Dick schrieb: Versuch mal eine Schwingungsgleichung zu lösen, die eine zusätzliche Konstante enthält.

Bin ja gerade dabei. Man kann sich das Leben mathematisch so einfach wie möglich machen, aber nicht einfacher. Wo eine Konstante ist, ist nun mal eine Konstante.

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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 12:38 #12843

Und die ist dann stabil, was ich mich schon paar Tage Frage: Was spielt ihr da feines? habt ihr vor eine Simulation zur erstellen?.... oder wo ist der Erkenntnisschatz begraben?.... Ihr rutscht da bald in ein Bodenloses Loch rein.

Merilix bei einer Epizykel sehe ich bei Stillstand jeweils einem halben kreis innen drin, einem halben Kreis außen, bei einer Bewegung ändert es sich und man hat da 1½ Kreis innen, und außen. Da kommt der Goldener schnitt zum Vorschein. Auf was für Ideen die gekommen sind nur um der Kirche gerecht zu werden, also nicht umgebracht zu werden. Fantastisch.

Ja ich kann alles, sogar definieren was ich nicht kann.

Man muss noch Chaos in sich haben, um einen tanzenden Stern gebären zu können.
**Der Friedrich**

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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 13:28 #12852

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Michael D. schrieb: Wo eine Konstante ist, ist nun mal eine Konstante.

Welche physikalische Bedeutung hat diese Konstante ?
Auf der linken Seite der DGL steht eine Beschleunigung. Ein konstanter Anteil einer Beschleunigung trägt zum stationären Kräftegleichgewicht bei, ist aber als zeitunabhängige Größe nicht am Schwingungsvorgang selbst beteiligt. Daher kann man die DGL m.E. durchaus in eine stationäre Kreisbewegung und eine zeit- und Winkelabhängige Pendelbewegung aufteilen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 17:06 #12863

\(C_{1}\) ist die Gesamtenergie des Systems und \(C_{2}\) ist ein Startwinkel. Beides frei wählbar. Das führt dann später zu Kurven, Ellipsen u.a.

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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 17:20 #12864

Chris schrieb: Ihr rutscht da bald in ein Bodenloses Loch rein.

Abwarten. Bitte etwas Geduld. Es wird schon.

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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 19:40 #12870

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Michael D. schrieb: \(C_{1}\) ist die Gesamtenergie des Systems und \(C_{2}\) ist ein Startwinkel. Beides frei wählbar. Das führt dann später zu Kurven, Ellipsen u.a.

a und b bestimmen ebenfalls die Kurven.
C2 kann man wohl zu Null setzen. \(\Phi\) dürfte gleich \(2 \pi \) sein. Aber was ist physikalisch \( \int f(r) dr \) ?

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Gravitationsgleichung und Rotation 18 03. 2017 19:59 #12871

Chris schrieb: Merilix bei einer Epizykel sehe ich bei Stillstand jeweils einem halben kreis innen drin, einem halben Kreis außen, bei einer Bewegung ändert es sich und man hat da 1½ Kreis innen, und außen. Da kommt der Goldener schnitt zum Vorschein. Auf was für Ideen die gekommen sind nur um der Kirche gerecht zu werden, also nicht umgebracht zu werden. Fantastisch.

Ich zitiere mal Wikipedia:

Ihrem Prinzip nach kann man die Epizykeltheorie als eine Approximation der tatsächlichen Planetenbahnen durch Fourier-Reihen betrachten

Im Grunde machen Dick und Michael was ähnliches, ich bin gespannt was dabei herauskommt und verfolge das mit Interesse :)
Gleichzeitig sagt das Zitat das die Alten gar nicht so dumm waren. Die haben mit heute anderswo gebräuchlichen mathematischen Mitteln die Bewegungen halbwegs korrekt beschrieben auch wenn ihnen die wirklich wesentlichen Zusammenhänge verborgen blieben. Das sagt aber auch das die Mathematik allein einen auch leicht in die Irre führen kann. :silly:

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Gravitationsgleichung und Rotation 19 03. 2017 13:20 #12897

Hi

Das mit den Epizykeln ist immer so eine Sache.

www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/convex.html

Viele Grüße
seb

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Gravitationsgleichung und Rotation 19 03. 2017 15:34 #12899

seb110,
Wenn der Epizykel im Uhrzeigersinn um einen Punkt auf einer Kreisbahn rotiert der sich selber gegen den Uhrzeigersinn bewegt gibt es (bei gleicher Frequenz) eine schöne Ellipse.

Allerdings verletzt diese Bahn (konstante Winkelgeschwindigkeiten vorausgesetzt) das 3. Kepplergesetz. Die Geschwindigkeit ist an beiden Hauptscheitelpunkten(Korrektur: natürlich Nebenscheitel) am größten. Dick müsste eigentlich auf das gleiche Problem stoßen, mal sehen wie er das löst ;)


PS: der Mond ist zu weit weg und seine Umlaufperiode zu lang um Schlaufen zu bilden. Bei der ISS ist das anders. Die rast in 90min einmal um die Erde. Das gibt in Bezug auf die Sonne eine Schraubenbewegung entlang der Erdbahn, und in der Draufsicht Schleifen.

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Letzte Änderung: von Merilix. Begründung: Korrektur (Notfallmeldung) an den Administrator

Gravitationsgleichung und Rotation 19 03. 2017 16:04 #12904

Versuchen wir auf der rechten Seite zunächst wieder eine optische Vereinfachung mit der Substitution \(u=\frac{1}{r}\). Dann ist \(\frac{du}{dr}=-r^{-2}\) bzw. \(du=-r^{-2}dr\) und wir können schreiben:
\[\phi+C_{2}=\mp\int\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{\left(2C_{1}+2au-bu^{2}\right)}}du\]
Teilen wir noch durch \(\sqrt{b}\):
\[\phi+C_{2}=\mp\int\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{2C_{1}}{b}+\frac{2a}{b}u-u^{2}\right)}}du\]

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