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THEMA:

Gravitationsgleichung und Rotation 19 03. 2017 16:38 #12906

Hi Merilix

Ah ok alles klar.

Viele Grüße
Seb

Mein Beitrag zur Rebellion gegen bestehende Verhältnisse? Ich gehe ständig zu spät zum Frühsör!

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Mein Beitrag zur Rebellion gegen bestehende Verhältnisse? Ich gehe ständig zu spät zum Frühsör!

Gravitationsgleichung und Rotation 19 03. 2017 17:01 #12908

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Merilix schrieb: Dick müsste eigentlich auf das gleiche Problem stoßen, mal sehen wie er das löst ;)

Das Epizykel ist eine nette Analogie. Ich habe dieses Problem nicht, weil ich nicht zwei Kreise verwende.
Ich addiere zur x-Koordinate des Kreises x(t) = cos(t) den Ausdruck a*cos(t) und erhalte:
x(t) = cos(t) + a*cos(t)
y(t) = sin(t)
mit 0 < t < 2*PI
Das ist nicht dasselbe wie ein Epizykel, dafür funktioniert es !

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Gravitationsgleichung und Rotation 19 03. 2017 17:03 #12909

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Michael D. schrieb:
\[\phi+C_{2}=\mp\int\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{2C_{1}}{b}+\frac{2a}{b}u-u^{2}\right)}}du\]

Schau mal unter Nr. 48)
www2.hs-esslingen.de/~kamelzer/ss09/Integraltabelle.pdf
Folgende Benutzer bedankten sich: Michael D.

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Gravitationsgleichung und Rotation 19 03. 2017 17:22 #12912

Ja, auf \(arcsin\) als Stammfunktion dürfte es in der ein oder anderen Form hinauslaufen.

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 21 03. 2017 13:42 #12969

Der Ausdruck unter der Wurzel riecht nach binomischer Formel. Wir versuchen mal, dahingehend optisch zu vereinfachen. Mit \(\alpha=\frac{2C_{1}}{b}\) und \(\beta=\frac{a}{b}\) kann man nun schreiben:
\[\phi+C_{2}=\mp\int\frac{1}{\sqrt{\left(\alpha+2\beta u-u^{2}\right)}}du\]
Wir klammern jetzt "-1" aus und erweitern den Ausdruck entsprechend der 2. Binomische Formel
\[\phi+C_{2}=\mp\int\frac{1}{\sqrt{\alpha+\beta^{2}-\left(\beta^{2}-2\beta u+u^{2}\right)}}du\]
und wenden diese dann "rückwärts" an:
\[\phi+C_{2}=\mp\int\frac{1}{\sqrt{\alpha+\beta^{2}-\left(\beta-u\right)^{2}}}du\]
Mit der optischen Vereinfachung durch \(\gamma=\sqrt{\alpha+\beta^{2}}\) und \(\delta=\beta-u\) erhalten wir schliesslich:
\[\phi+C_{2}=\mp\int\frac{1}{\sqrt{\gamma^{2}-\delta^{2}}}du\]
Die Stammfunktion auf der rechten Seite ist bekannt und wir erhalten:
\[\phi+C_{2}=\mp\arcsin{\frac{\delta}{\gamma}}\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 21 03. 2017 21:43 #12977

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Michael D. schrieb:
\[\phi+C_{2}=\mp\arcsin{\frac{\delta}{\gamma}}\]

Das ist eine Funktion \(\Phi = f(r)\). Wir wollten eigentlich \(r = f(\Phi)\).
Es gibt die Beziehung:
\( arcsin(z) = -i \cdot ln(iz + \sqrt{1-z^2}) \)
Damit könnte man den arcsin los werden und versuchen, eine Form von \( r = f(e^{i \Phi}) \) zu bekommen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 22 03. 2017 12:20 #12989

Erstmal scheint das Vorzeichen auf der rechten Seite frei wählbar zu sein, da sich der Winkel in die eine oder die entgegengesetzte Richtung bewegen kann, genauso wie sich Planeten in unterschiedlich Richtungen bewegen, wenn man von "oben" oder von "unten" aufs Sonnensystem schaut.

Dick schrieb:

Michael D. schrieb:
\[\phi+C_{2}=\mp\arcsin{\frac{\delta}{\gamma}}\]

Das ist eine Funktion \(\Phi = f(r)\). Wir wollten eigentlich \(r = f(\Phi)\).

Das ist wirklich ganz einfach. Wir bilden auf beiden Seiten den Sinus und erhalten:
\[sin\left(\phi+C_{2}\right)=-\frac{\delta}{\gamma}\]
Wir ersetzen \(\delta\) und \(u\) wieder:
\[sin\left(\phi+C_{2}\right)=-\frac{\beta-\frac{1}{r}}{\gamma}\]
formen um:
\[\gamma*sin\left(\phi+C_{2}\right)=-\beta+\frac{1}{r}\]
und erhalten schliesslich:
\[r\left(\phi\right)=\frac{1}{\beta+\gamma*sin\left(\phi+C_{2}\right)}\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 22 03. 2017 17:24 #12995

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Super Rechenweg. Das Ergebnis im Mittelwert mit sin( ) = 0 entspricht dem Ergebnis, das man erhält, wenn man in der Ausgangsgleichung \( \ddot r = 0 \) setzt. Es ist also plausibel.

Mich irritiert der Sinus im Nenner. Das ergibt keine Ellipse für r.
Und mir ist es bisher nicht gelungen, das zugehörige \(\omega\) zu ermitteln.

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Gravitationsgleichung und Rotation 23 03. 2017 07:59 #13004

Dick schrieb: Mich irritiert der Sinus im Nenner. Das ergibt keine Ellipse für r.

Doch doch. Der Sinus im Nenner liefert ja gerade die Ellipsen. Mit folgender optischer Vereinfachung wirds klarer: Wir teilen auf der rechten Seite durch \(\beta\) und vereinfachen mit \(\eta=\frac{1}{\beta}\) und \(\mu=\frac{\gamma}{\beta}\). Den Startwinkel \(C_{2}\) wählen wir gleich "0". \(\eta\) und \(\mu\) sind die Parameter der Kurvenschar aller Kreise, Ellipsen usw. (5):
\[r\left(\phi\right)=\frac{\eta}{1+\mu*sin(\phi)}\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 23 03. 2017 11:43 #13008

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Michael D. schrieb:
\[r\left(\phi\right)=\frac{\eta}{1+\mu*sin(\phi)}\]

Na klar, Polarkoordinaten. Mein Fehler.

Noch etwas, \(\mu\) muss kleiner 1 und größer 0 sein. Dazu muss C1 (Gesamtenergie) negativ werden. Das geht nicht.

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Gravitationsgleichung und Rotation 23 03. 2017 14:57 #13011

Was sofort ins Auge fällt ist, wenn \(\mu\) gleich "0" ist, haben wir keine Abhängigkeit mehr von \(\phi\). Das ist schon mal die Schar aller Kreise, deren Radien durch verschiedene \(\eta\) bestimmt wird:

\(Kreise:\)
\[r=\frac{\eta}{1+0}=\eta\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 25 03. 2017 19:56 #13044

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Bei der Ermittlung von \(\omega\) gibt es ein Problem.

Ich habe den Rechengang nochmal überprüft und bin dabei auf einen grundsätzlichen Widerspruch gestoßen.
Nach dem Drehimpuls ist \(\omega\) ~ \( 1/r^2\). Nach Kepler 3 gilt aber \(\omega^2\) ~ \( 1/r^3\). Das entspricht unserer Bewegungsgleichung.
Beides geht nicht.

Habe ich mich da verrannt ? Oder wie geht man damit richtig um ?

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Gravitationsgleichung und Rotation 26 03. 2017 00:12 #13048

Dick schrieb: Nach Kepler 3 gilt aber \(\omega^2\) ~ \( 1/r^3\).

Wie kommst Du darauf? Bitte begründen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 26 03. 2017 11:23 #13051

Kepler 3 besagt ja \(T^2\) ~ \( a^3\).

Für die Umlaufdauer T gilt: T ~ \( 1/\omega\)
Für eine Kreisbahn gilt: a = r

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Gravitationsgleichung und Rotation 26 03. 2017 11:37 #13052

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Michael D. schrieb: Nach Kepler 3 gilt aber \(\omega^2\) ~ \( 1/r^3\)
Wie kommst Du darauf? Bitte begründen.

Laut Wiki sagt Kepler:
"Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen."
Die Umlaufzeiten sind umgekehrt proportional zur Winkelgeschwindigkeit und die großen Bahnhalbachsen proportional zu den Radien. Also ist \(\omega^2\) umgekehrt propertional zu den Radien hoch drei.

Das gleiche ergibt sich, wenn man die Fliehkraft gleich der Massenanziehung setzt:
\(mr\omega^2 = mMG/r^2\)
Durch r dividiert erhält man \(\omega^2\) ~ \( 1/r^3\)

Es ist merkwürdig, nach Kepler ist das Verhältnis \(\omega\) zu r nur von MG abhängig, nach dem Drehimpuls nur von L/m. Im ersten Fall bestimmt die Sonne, wo es lang geht, im zweiten der Planet. Dass das nicht übereinstimmt, ist doch eigentlich klar.

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Gravitationsgleichung und Rotation 26 03. 2017 15:25 #13056

Dick schrieb:

Michael D. schrieb: Nach Kepler 3 gilt aber \(\omega^2\) ~ \( 1/r^3\)
Wie kommst Du darauf? Bitte begründen.

Laut Wiki sagt Kepler:
"Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen."
Die Umlaufzeiten sind umgekehrt proportional zur Winkelgeschwindigkeit und die großen Bahnhalbachsen proportional zu den Radien. Also ist \(\omega^2\) umgekehrt propertional zu den Radien hoch 3.

Bitte Schritt für Schritt mathematisch herleiten. Ist mit Worten nicht nachvollziehbar.

Der Ansatz Fliehkraft gleich Massenanziehung ist wieder der Fehler vom Anfang. Geht so nicht.

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Gravitationsgleichung und Rotation 26 03. 2017 19:42 #13060

@ClausS
T~1\\(\omega\)?
Wie wird das hergeleitet?

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Gravitationsgleichung und Rotation 26 03. 2017 20:30 #13062

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Michael D. schrieb: Bitte Schritt für Schritt mathematisch herleiten. Ist mit Worten nicht nachvollziehbar.

Kepler hat sein Gesetz von Meßdaten abgeleitet. Daher müssen wir unser Ergebnis nur mit seinen Daten bestätigen. Dabei ist mir in der ersten Abschätzung leider ein Fehler unterlaufen. Unser Ergebnis stimmt, entgegen meiner ersten Behauptung, doch mit den allgemein bekannten Meßdaten überein.

Im Einzelnen:
Ich berechne \(\omega\) aus dem Drehimpuls mit:
\(\omega = \frac{L}{mr^2}\)
und erhalte mit unserer Lösung für \(\Phi = 0\)
\(\omega = \frac{G^2 m_{sonne}^2 m_{planet}^3}{L^3} \)

Mit den folgenden Daten:
G = 6,67*10^-11 [m^3/kg/s^2]
M(Sonne) = 1,988 * 10^30 [kg]
m(Erde) = 5,97 * 10^24 [kg]
\(\omega = 2\pi / 1 Jahr \) = 0,199 * 10^-6 [sec]
r(Abstand Sonne-Erde) = 1,49 * 10^11 [m]
\( L = mr^2\omega \) = 2,518 * 10^40 [1/s]

ergibt sich nach unserer Lösung:
\(\omega \) = 0,211 * 10^6
Das ist nach erster Abschätzung ohne Fehlerrechnung und bei allen Unsicherheiten bei der Berechnung des Anfangsimpulses eine Bestätigung unserer Rechnung.
Michael D. schrieb: Der Ansatz Fliehkraft gleich Massenanziehung ist wieder der Fehler vom Anfang. Geht so nicht.

Für eine Ellipsenbahn nicht, für eine Kreisbahn schon. Man erhält mit \(\ddot r = 0\) den Ausdruck \(r = b/a\). Das ist genau unser Ergebnis mit \(\Phi = 0\).
Unter der Annahme, dass sich die Umlaufzeit der Ellipse nicht allzu sehr von der Kreisbahn unterscheidet, reicht das für eine Plausibilisierung.

Das Fazit für mich ist, dass es funktioniert, ich aber nicht weiß warum, denn Drehimpulserhaltung, Energieerhaltung und Bewegungsgleichung passen, was die Umlaufgeschwindigkeit angeht, aus oben genannten Gründen nicht wirklich zusammen.

Soweit so gut. Wollen wir uns an die Erweiterung von Newton in Richtung Einstein heranwagen ?

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Gravitationsgleichung und Rotation 26 03. 2017 21:10 #13063

Zusammenfassend nochmal der Hinweis auf die Keplerbahnen, die wir ermittelt haben: Einzentrenproblem .
Jetzt wagen wir uns an Einstein heran und untersuchen die Periheldrehung des Merkur.

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Gravitationsgleichung und Rotation 27 03. 2017 17:39 #13070

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Danke für den Link. Da ist auch die Sache mit der negativen Gesamtenergie aufgeführt. Scheint ja i.O. zu sein. Und die Beziehung \(T^2 \sim a^3\) ist dort abgeleitet.

Einstein hat zwei neue Prinzipien eingeführt:
1) die Lichtgeschwindigkeit ist Höchstgeschwindigkeit und
2) er unterscheidet in der 2. Ableitung nicht zwischen Beschleunigung und Krümmung.
Die Periheldrehung geht wohl auf den ersten Punkt zurück.

Das heißt, dass irgendwelche Größen mit dem Faktor \( (1 - v^2/c^2) \) eingebremst werden müssen.

Ich hatte das schon einmal am 28.2. (Seite 2) angefangen. Dort bezog ich mich auf eine Bewegungsgleichung aus Wiki, die unserer Gleichung ziemlich ähnelt. Man muss zur Bewegungsgleichung eigentlich nur einen Faktor hinzufügen. Allerdings ist die gesamte weitere Herleitung der Lösung damit hinfällig.

Es ist mir weiterhin aufgefallen, dass unsere Lösung die Periheldrehung ausspuckt, wenn man \(\Phi\) im Sinus mit einem Faktor versieht.

Das Problem ist, dass der Faktor in der Bewegungsgleichung in keinem Zusammenhang mit dem \(\Phi-Faktor\) zu stehen scheint.

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Gravitationsgleichung und Rotation 27 03. 2017 18:31 #13071

Michael D. schrieb: @ClausS
T~1\\(\omega\)?
Wie wird das hergeleitet?


Zumindest für konstante Umlaufgeschwindigkeit gilt: \(\omega\) = 2\(\pi\)/T

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Gravitationsgleichung und Rotation 28 03. 2017 12:03 #13074

Ja auf die mögliche Wahrscheinlichkeit begrenzt das es auch diese Bewegung macht und das auch konstant, Also bodenlos wird das, ein endloses Kapitell welches auch noch eine Kreisbahn beschreibt :D
Ja der Arme Merkur bekommt alle anderen Planeten zu spüren wo an der Sonnen herum ziehen. Braucht man da wirklich Einstein dafür? Also ich kann das zeigen mit einem Kreisel-Spielzeug und einem Kaugummi, was da der Leichte Merkur erleidet, wehrend alle anderen Planeten an der Sonne hin und her ziehen.

//: Ok halt Einstein, da das Baryzentrum sehr relativ ist :D

Ja ich kann alles, sogar definieren was ich nicht kann.

Man muss noch Chaos in sich haben, um einen tanzenden Stern gebären zu können.
**Der Friedrich**

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Gravitationsgleichung und Rotation 28 03. 2017 13:26 #13075

Halten wir mal das Bisherige fest. Zunächst mal eine ganz einfache Ellipse, die sich aus Gleichung (5), Seite 4, mit simplen eingestzten Zahlenwerten ergibt:
\[r\left(\phi\right)=\frac{1}{1+0.5*sin(\phi)}\]
Um diese Ellipse unverändert um ihren Brennpunkt rotieren zu lassen, benötigt \(\phi\) einen Vorfaktor \(a\):
\[r\left(\phi\right)=\frac{1}{1+0.5*sin(a\phi)}\]
Wenn wir mal alle anderen Einflüsse weglassen, die zur Rotation der Ellipse führen (z.B. andere Planeten), muss dieser Vorfaktor auf Einstein zurüchzuführen sein und sich aus dem letzten Summanden der folgenden Bewegungsgleichung ergeben (6):
\[\ddot r = - \frac{M}{r^2} + r \dot \Phi^2 - 3M\dot \Phi^2\]
Es handelt sich um ein zu Newton (Gleichung (4), Seite 2) zusätzliches gravitatives Potential. Ich bin der Meinung, wir sollten versuchen, diesen Term aus Einstein herzuleiten und uns die Mühe sparen, aus diesem Term den Vorfaktor \(a\) zu bestimmen.

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Gravitationsgleichung und Rotation 28 03. 2017 17:06 #13077

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Ich meine, wir müssen beides tun, denn wir brauchen eine Lösung für r, d.h. einen Wert für den Vorfaktor a .

Wie soll die Herleitung aussehen ?
Wenn wir uns auf den Lorentzfaktor beziehen, gibt es eigentlich nur hohe tangentiale Geschwindigkeiten zu berücksichtigen. Da sich die Planetenmasse herauskürzt, bleibt nur noch die Zeitdilatation. Für \(\omega\) heißt das:

\( \omega = \frac{2\pi }{T} = \frac{2\pi}{T'} \cdot \sqrt{1-\beta^2} \)

mit T' als Zeit im bewegten Koordinatensystem.
Das ist überschaubar.

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Gravitationsgleichung und Rotation 29 03. 2017 09:39 #13089

Erstmal müssen wir aus Gleichung (6), wie schon früher praktiziert, die Winkelgeschwindigkeit eliminieren, denn es gilt ja nach wie vor die Drehimpulserhaltung:
\[L=mr^{2}\dot\Phi\]
Es ergibt sich (7):
\[\ddot r = - \frac{M}{r^2} + \frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}} - \frac{3ML^{2}}{m^{2}r^{4}}\]
Optische Vereinfachung:
\[\ddot r = - \frac{\alpha}{r^2} + \frac{\beta}{r^{3}} - \frac{\gamma}{r^{4}}\]

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Gravitationsgleichung und Rotation 29 03. 2017 12:47 #13093

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Michael D. schrieb: Es ergibt sich (7):
\[\ddot r = - \frac{M}{r^2} + \frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}} - \frac{3ML^{2}}{m^{2}r^{4}}\]


Dann klammern wir \( \frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}} \) aus:

\( \ddot r = - \frac{M}{r^2} + \frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}} \cdot ( 1 - \frac{3M}{r}) \)

mit \( M = \frac{GM}{c^2} \) und \( GM = r^3\omega^2 \) für Kreisbahnen

\( \ddot r = - \frac{M}{r^2} + \frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}} \cdot ( 1 - \frac{r^2\omega^2}{c^2}) \)

und mit \( \gamma = \frac{v^2}{c^2} = \frac{r^2\omega^2}{c^2} \) erhält man:

\( \ddot r = - \frac{M}{r^2} + \frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}} \cdot ( 1 - \gamma) \)

Damit wird aus b:
\( b_{neu} = b_{alt} \cdot (1-\gamma] \)

M ist wegen G=c=1 nicht immer eindeutig. \( M = \frac{GM}{c^2} \) oder \( M = GM \)

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Gravitationsgleichung und Rotation 29 03. 2017 13:35 #13094

Weil die Terme von Gleichung (7) Beschleunigungen sind, muss \(M=M_{Sonne}*G\) sein. Ausserdem würde ich nicht ohne Not die Lichtgeschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit einführen. Auch würde ich \(\gamma\) nicht für eine Abhängigkeit von \(r\) verwenden, sondern nur für eine Konstante. Die Frage ist, ob wir durch Ausklammern weiterkommen. Integrier mal Deine Gleichung nach der Ausklammerung. Wird schwierig.

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Gravitationsgleichung und Rotation 29 03. 2017 14:07 #13095

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\( (1-\gamma) \) ist der Lorentzfaktor für \(\omega^2\). Es ist eine Frage, ob man den im Sinne einer Näherungslösung nicht konstant setzt.

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Gravitationsgleichung und Rotation 29 03. 2017 14:44 #13096

Wir haben doch alles schon mal erfolgreich durchexerziert. Wir sollten es genauso machen. Eine Näherungslösung ist doch nicht notwendig.

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Gravitationsgleichung und Rotation 30 03. 2017 11:26 #13108

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Michael D. schrieb: Eine Näherungslösung ist doch nicht notwendig.

Ich fürchte doch.
Wir haben mit der Verwendung des Drehimpulses auch schon zwangsläufig auf eine geschlossene Lösung verzichtet.
Wir haben eine Gleichung, die Bewegungsgleichung, und zwei Variable, \(\omega\) und r. Die Erhaltungsgrößen, Drehimpuls- und Energie, liefern uns zwar zwei weitere Gleichungen, aber auch zwei neue Unbekannte. Es liegt also ein unterbestimmtes Modell vor. Durch die Verwendung des Drehimpulses haben wir nur die Unbestimmte \(\omega\) durch die Unbekannte L ersetzt. Das ist zwar praktisch, ändert aber nichts an der Unterbestimmtheit. Wir müssen \(\omega\) schon kennen, wenn wir L bestimmen wollen.

Die Folge dieser Unterbestimmtheit ist, dass wir mit verschiedenen Werten für \(\omega\) leben müssen. Das ist kein Problem, weil dieser Wert iterativ konvergiert.
Die weitere Folge ist, dass wir den Planeten abhängig von den Startwerten rechnerisch im gesamten Sonnensystem plazieren können.

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