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THEMA: Seite 102 Gl. 2.62

Seite 102 Gl. 2.62 30 12. 2019 11:25 #62983

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Zunächst eine kleine Anregung: ich bin nicht sicher, ob das von mir unten angesprochene Thema schon mal erwähnt wurde. Wenn ja, bitte ich um Entschuldigung. Vielleicht würde es helfen, die Kommentare nach Ausgabe/Seite des Buchs zu ordnen. Ansonsten könnten im Lauf der Zeit viele Mehrfachnennungen auftreten. Oder gibt es eine solche Ordnung bereits und ich habe sie übersehen?

Auf Seite 101/102 der Originalausgabe steht:

Die Arbeit bzw. die Energie, die aufzuwenden ist, um die Masse m gegen die Kraft F um die Strecke r zu verschieben, beträgt E=F*r=G*M*m/r^2 * r= G*M*m/r

Die erste Aussage E=F*r gilt aber doch nur, wenn F entlang des Weges r konstant bleibt, was ja gerade im Gravitationsfeld nicht der Fall ist. Es sei denn man betrachtet beliebig kleine Wegstrecken dr und intergriert dann entlang des Weges über F(r) dr. Dieses beliebig kleine r ist aber dann nicht das gleiche r wie im Gravitationsgesetz und dürfte mithin auch nicht einfach gekürzt werden. Da das r des Gravitationsgesetzes im Zentrum beginnt, kann man aufgrund der Singularität für r=0 natürlich nicht entlang des Weges vom Zentrum zum Aufenthaltsort der Masse integrieren.
Nicht nur deshalb erscheint mir die übliche Vorgehensweise, die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten im Abstand r1 und r2 als Hubarbeit pro Masse zwischen diesen Punkten zu definieren und durch Ausrechnen dieses bestimmten Integrals von r1 nach r2 über F(r) dr die Formel G*M*m*(1/r1-1/r2), zu erhalten, viel eingängiger. Dann ergibt sich durch die etwas willkürliche aber durchaus praktische Festlegung des Null-Potentials für r2 gegen unendlich auch das negative Vorzeichen unmittelbar. Wenn man Arbeit (pro Masse) aufwendet, um auf 0 zu kommen, muss man natürlich unterhalb von Null starten.

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Seite 102 Gl. 2.62 30 12. 2019 20:51 #63017

woba64 schrieb: Die erste Aussage E=F*r gilt aber doch nur, wenn F entlang des Weges r konstant bleibt, was ja gerade im Gravitationsfeld nicht der Fall ist.

Du hast völlig Recht, aber bei vereinfachten Betrachtungen für das Grundverständnis rechnet man mit konstanter Gravitationsbeschleunigung.

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Seite 102 Gl. 2.62 02 01. 2020 12:29 #63131

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Danke für dir schnelle Antwort. Aber wenn aus heiterem Himmel die Gravitationsbeschleunigung unabhängig vom Abstand sein soll, während sie kurz vorher noch mit dem Quadrat des Abstands abnahm, wäre nach meinem Dafürhalten das Paradigma des Kanals verletzt, demzufolge die Vereinfachung nur so gravierend sein darf, dass nichts Falsches gesagt wird.

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Seite 102 Gl. 2.62 07 01. 2020 22:01 #63480

Hallo woba64,
in Gleichung 2.62 vereinfachen wir die Energie als Kraft mal Weg und erhalten damit das richtige Ergebnis, das man natürlich auch durch Integration der veränderlichen Kraft entlang infinitesimal kleiner Wegstücke dr erhalten würde. (Mit Ausnahme des Vorzeichens, deshalb steht über der Gleichung: der Einfachheit halber betrachten wir in diesem Schritt nur die Beträge der Größen, dh., wir kümmern uns nicht um das Vorzeichen.) 1/r^2 ergibt integriert ja -1/r.
Wir gewinnen also auf einfachem Weg (ohne Integration) das richtige Ergebnis. Bei Gleichung 2.60 gehen wir ja analog vor.
Nachdem es nun offensichtlich doch zur Verwirrung kam sollten wir vielleicht die Klammer vor der Gleichung noch um einen Halbsatz erweitern:
(Der Einfachheit halber nehmen wir in diesem Schritt die Kraft lokal als konstant an und betrachten nur die Beträge...).

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Seite 102 Gl. 2.62 08 01. 2020 20:32 #63508

Wie wärs denn damit dieser Alternative für Seite 101 letzter Absatz:
Betrachten wir das Gravitationsgesetz nochmals im Lichte dieser neuen Erkenntnis und berücksichtigen wir, dass die Kraft F mit der Entfernung zweier Massen m und M quadratisch abfällt. Die Arbeit, bzw. die Energie, die aufzuwenden ist, um die Masse m in einem bestimmten Abstand r von der Masse M um ein beliebig kleines Stück dr zu verschieben, beträgt Kraft mal Weg, d. h. F(r) * dr. Die Gesamtenergie E entlang eines ausgedehnten Weges r_1 nach r_2 erhalten wir durch die Summe (bzw. das Integral) der Teilenergien entlang infinitesimal kleiner Wegstücke:

*** Dann die Gleichung 2.62 in Integralschreibweise und der Lösung mit dem Faktor (1/r_2 – 1/r_1).

Bewegt sich die Masse m auf M zu, d. h. r_2 < r_1, so wird die aufzuwendende Energie negativ, bzw. m gewinnt kinetische Energie. Von besonderem Interesse ist nun der Spezialfall r_2 gleich unendlich und m gleich der Einheitsmasse 1 Kilogramm. Diese Energie, die notwendig ist um die Einheitsmasse aus dem Unendlichen an einen bestimmten Punkt r im Gravitationfeld zu bringen, nennt man Potential /Phi(r) :

*** Dann Gleichung 2.63.

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Seite 102 Gl. 2.62 09 01. 2020 09:59 #63527

  • woba64
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Lieber Herr Gaßner,
mir ist zwar schleierhaft, wie Sie das schaffen, aber ich danke Ihnen von Herzen, dass Sie sich immer wieder die Zeit nehmen, auch wenn es um Kleinigkeiten oder Trivialitäten geht. Vielleicht sollten Sie auch Seminare über Zeitmanagement halten.
Für mich persönlich wäre die Erklärung in Ihrer letzten Antwort tatsächlich wesentlich eingängiger, nicht zuletzt weil ich es im Prinzip so aus dem Schulunterricht kenne, auch wenn der schon eine Ewigkeit zurück liegt.

Viele Grüße und vielen Dank
Wolfgang Backes

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