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THEMA:

Der Lagrange Formalismus 28 07. 2017 17:35 #17979

Ok und ich habe auf irgendwelche werte gehofft, das man es VERANSCHAULICHT.... aber da ist ja immer noch nur dieses x,z,g,y,m,k,L punkt.....

Ja ich kann alles, sogar definieren was ich nicht kann.

Man muss noch Chaos in sich haben, um einen tanzenden Stern gebären zu können.
**Der Friedrich**

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Der Lagrange Formalismus 28 07. 2017 18:05 #17980

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Ich würde es ja gerne versuchen, wenn Du mir sagst was anschaulicher werden soll bzw. was Deine konkrete Frage ist?
Ich hab einfach mal auf Claus' Anregung hin das Beispiel Fadenpendel genommen und begonnen das halt mittels des Langrange Formalismuses anzupacken; das wird dann leider halt auch etwas mathematisch.
Der "Witz" bei der ganzen Geschichte ist eben v.a. dass man den Vektor, der die Lage des zu untersuchenden Punktes/Körpers in Koordinaten beschreibt, die einem die Geschichte einfacher machen und bei Drehbewegungen tut man sich eben mit dem Winkel viel leichter.

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Der Lagrange Formalismus 28 07. 2017 20:16 #17986

Rupert, die Formeldarstellung funktioniert noch wie vorher, nur die Vorschau geht nicht.

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Der Lagrange Formalismus 29 07. 2017 01:32 #18008

Rupert ich habe keine frage, sondern Sehnsucht nach Zahlen.

Ja ich kann alles, sogar definieren was ich nicht kann.

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Der Lagrange Formalismus 29 07. 2017 09:17 #18011

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Merilix schrieb: Rupert, die Formeldarstellung funktioniert noch wie vorher, nur die Vorschau geht nicht.


Dann habe ich da anscheinend ein Darstellungsproblem mit meinem Browser, denn ich ich sehe nicht mal wo ich hinklicken müsste um eine Formel einzugeben.

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Der Lagrange Formalismus 29 07. 2017 16:04 #18025

Rupert schrieb:

Merilix schrieb: Rupert, die Formeldarstellung funktioniert noch wie vorher, nur die Vorschau geht nicht.


Dann habe ich da anscheinend ein Darstellungsproblem mit meinem Browser, denn ich ich sehe nicht mal wo ich hinklicken müsste um eine Formel einzugeben.

Nirgens. Einfach im Fließtext eingben und mit
[tex]..latex-formel..[/tex] oder \( latex-formel \)
wie vorher auch.
Aus
Die Langrange Funktion \(L = E_{kin} - E_{pot}\) lautet also für das Fadenpendel nun: \( L = \frac{1}{2} m (\dot{\alpha} l)^2 + m g l \cdot cos \  \alpha \)
wird
Die Langrange Funktion \(L = E_{kin} - E_{pot}\) lautet also für das Fadenpendel nun: \( L = \frac{1}{2} m (\dot{\alpha} l)^2 + m g l \cdot cos \ \alpha \),
eine Formel die ich nicht lesen kann weil ich nicht weis was \(\dot\alpha\) bedeutet d.h. wie man einen Winkel \(\alpha\) ableitet. lol

Einen Latex-Formeleditor gabs hier ja auch vor dem Update nicht aber es gibt einige online Editoren.

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Der Lagrange Formalismus 29 07. 2017 17:12 #18027

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Tja, ein Winkelsymbol mit dem Pünktchen drüber bedeutete bei mir in der Uni noch immer, dass das die Änderung des Winkels mit der Zeit ist, eben die Winkelgeschwindigkeit, und ich glaube jetzt nicht, dass sich das geändert haben wird.
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Der Lagrange Formalismus 29 07. 2017 18:25 #18029

Im Bogenmaß ist der Winkel definiert als die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis.

Der Vollwinkel ist 2* Pi, das entspricht genau der Länge des Kreisumfangs mit Radius 1.

Somit entspricht der Winkel einer Strecke und eine Strecke kann man nach der Zeit ableiten.

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Der Lagrange Formalismus 29 07. 2017 19:06 #18031

Hallo Rupert, Tut mir leid das ich keine Uniausbildung genossen habe. Wirklich! Deshalb frage ich ja.
Mit Winkelgeschwindigkeit hab ich immer das kleine Omega verbunden, deshalb die Verwirrung.
Danke auch an Claus.

An solchen Kleinigkeiten solls nicht scheitern und vielleicht lern ich ja mit meinen 52 Lenzen noch bisschen was dazu^^
Geht da auch eine andere Schreibweise? z.B. \(\frac{d\alpha}{dt}\) wäre nach meinem Verständnis eine Veränderung des Winkels über die Zeit?

Irgendwie stört mich das das Alpha in der Formel zweimal vorkommt^^

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Der Lagrange Formalismus 29 07. 2017 19:23 #18034

Per Definition gilt: \(\dot\alpha\) = \(\frac{d\alpha}{dt}\)

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Der Lagrange Formalismus 29 07. 2017 21:07 #18035

Verstehe, das sind nur unterschiedliche Notationen der selben Sache.
\(\frac{d\alpha}{dt}\) ist Leibnitz, \(\dot{\alpha}\) ist Newton und \(\alpha'\) ist die Lagrangenotation unde alle bedeuten das gleiche.

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Der Lagrange Formalismus 02 08. 2017 19:08 #18135

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Thomas schrieb: Hallo zusammen
war auf Radeltour, von Südbayern nach Venedig. Deshalb konnte ich das Thema nicht weiter vertiefen.
Jetzt aber soll das Thema reaktiviert werden, denn es wäre schade, wenn der Videobeitrag von Josef so schnell untergehen würde. Wir brauchen das Verständniss noch für die folgenden Beiträge.
Beim Einführungspost hab ich natürlich vergessen, dass L , also die Lagrangefunktion über die Geschwindigkeit integriert werden muss, denn sonst tut sich ja nichts. Der Stein im Gebirge bleibt solange liegen, bis ein Gewittersturm ihn ins Rollen bringt. Erst wenn er rollt, bekommt E kin - E pot einen Wirkungscharakter.
Schaut euch das Video nochmal an. Nach dem Integral folgt der Formalismus, der dann auch das Zeitdifferential mit beinhaltet.
Die Mächtigkeit dieses Gebäudes ist so irre, dass wir das unbedingt vertiefen sollten.
Die Freude an den folgenden Beiträgen ist umso größer.
Grüße
Thomas

Thomas ist zurück, dafür scheint jetzt der Rest der Kompanie in Urlaub zu sein.
Das Forum fühlt sich an wie ein plattbetoniertes Areal von 1000 Kilometern Größe in der der kasachischen Steppe. :-)

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Der Lagrange Formalismus 02 08. 2017 20:50 #18136

Ja, mich würde auch interessieren wie es weiter geht.
Ich meine, am Ende müsste doch ein Gleichungssystem der Form
\[\begin{Bmatrix} \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} f(x,y,z,\Delta t)\\ g(x,y,z,\Delta t)\\ h(x,y,z,\Delta t) \end{Bmatrix}\]
herauskommen um das Verhalten des Systems numerisch rechnen zu können. Gibt es da eine schematische Vorgehensweise die sich auf alle möglichen "Probleme" anwenden lässt? Dann liesse sich das nämlich formal programmieren.

Ein schönes und chaotisches Beispiel ist eigentlich auch Doppelpendel .Jedoch sind mir auch da die Sprünge zu den Bewegungsgleichungen und von da zur numerischen Berechnung etwas zu groß. Den letzteren kann ich vielleicht noch nachvollziehen wenn ich Zeit finde denn ein Scilab Programmcode liegt bei ;)

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Der Lagrange Formalismus 02 08. 2017 23:13 #18141

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Auch beim Doppelpendel wird da gar nix chaotisch; Ortsvektor in einem geeigneten Koordinatensystem bestimmen, potentielle und kinetische Energie aufstellen, Lagrangefunktion bilden, ableiten, die Bewegungsgleichung steht da. Fertig.
Unübersichtlicher wird's bei 3 dimensionalen Aufgabenstellungen, funktioniert aber dennoch haargenau gleich.
Es ist eben ein Formalismus oder eine "schematische Vorgehensweise".

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Der Lagrange Formalismus 03 08. 2017 04:31 #18142

Ich meinte natürlich das Doppelpendel ist chaotisch im Verhalten, ;)

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Der Lagrange Formalismus 03 08. 2017 11:24 #18146

Merilix schrieb: Ich meinte natürlich das Doppelpendel ist chaotisch im Verhalten, ;)

Ob das auf einem Planeten mit erstarrten Kern auch der Fall ist frag ich mich grad, da eigentlich die Maße des Pendels, recht stark unterliegt.
// @Rupert:
Doppelpendel chaotisch 100%

da wird Lagrange Formalismus zur Bestimmung der Bewegung von der Lot Auslenkung benutzt um mal beim Thema zu bleiben.

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Der Lagrange Formalismus 11 08. 2017 16:51 #18470

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Ok, dann bringe ich es mal zu Ende - soll ja nicht mittendrin aufhören.

Die Lagrangefunktion lautet also: \(L=1/2m(\dot \alpha l)^2+mgl\cos\alpha \)

Die wird jetzt in die Euler Lagrange Gleichung eingesetzt, die allgemein so lautet: \(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}-\frac{\partial L}{\partial \alpha}=0 \)
\(\partial \) stellt hier eine partielle Ableitung dar; sprich man leitet die Funktion genau nach diesem Argument ab und macht mit den anderen nichts (hält sie fest).

Damit kommt man auf folgende Terme:
\(\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}=ml^2\dot\alpha \) - der Term mit dem Cosinus, also der zweite Summand, liefert beim Ableiten 0, weil er kein \(\dot{\alpha} \) enthält.
Das ganze nach der Zeit \(\frac{\text{d}}{\text{d}t} \) abgeleitet ergibt: \(ml^2\ddot{\alpha} \)
\(\frac{\partial L}{\partial \alpha}=-mgl\sin\alpha \) - der Term mit dem \(\dot{\alpha} \) , also der erste Summand, liefert beim Ableiten 0, weil er kein \( \alpha \) enthält.

Zusammengefasst steht nun also da:
\(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}-\frac{\partial L}{\partial \alpha}=ml^2\ddot{\alpha}+mgl\sin\alpha=0 \)

Jetzt nach \(\ddot{\alpha}\) auflösen und man hat die Bewegungsgleichung:
\( \ddot{\alpha}=-\frac{g}{l}sin\alpha \)

Das ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung (zweite Ordnung wegen des \(\ddot{\alpha}\) )

Für kleine Auslenkungen, also Winkel bis 10° meine ich, kann man folgende Näherung verwenden: \(sin\alpha\approx\alpha \)
Man kann man diese Differentialgleichung also linearisieren, indem man das \(sin\alpha \) durch \(\alpha \) ersetzt und so die Gleichung zu folgendem vereinfacht:
\(\ddot{\alpha}=-\frac{g}{l}\alpha \)

Das ist jetzt eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung und die kann man nun, wenn mich meine Erinnerung nicht trügt, "konventionell" mathematisch lösen; der Spaß liegt aber jetzt 20 Jahre zurück und meinen Bronstein habe ich auch nicht mehr; von daher war's das jetzt für mich.

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Der Lagrange Formalismus 11 08. 2017 17:55 #18472

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Die Geschichte geht für's Doppelpendel analog; da ist nur der Ortsvektor für den Massenpunkt nicht ganz so einfach, weil er von 2 Winkeln \(\alpha \) und \(\beta \) abhängt und damit dann natürlich auch die Bewegungsgleichungen von 2 Variablen und deren zeitlichen Ableitungen abhängen.

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Der Lagrange Formalismus 11 08. 2017 18:13 #18473

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Hi Rupert, da es ne harmonische Schwingung wird, ist der Ansatz: alpha als Funktion von sin und cos(omega t) auf jeden Fall zielführend.
Daraus ergibt sich omega² = g/l Omega ist die Kreisfrequenz.

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Letzte Änderung: von Denobio. (Notfallmeldung) an den Administrator

Der Lagrange Formalismus 11 08. 2017 20:29 #18476

Rupert schrieb: Das ist jetzt eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung und die kann man nun, wenn mich meine Erinnerung nicht trügt, "konventionell" mathematisch lösen; der Spaß liegt aber jetzt 20 Jahre zurück und meinen Bronstein habe ich auch nicht mehr; von daher war's das jetzt für mich.


Nimm folgende Ableitungen und scho sollte diese Differenzialgleichung kein Problem mehr sein:
d/dt (sin(a*t)) = a * cos(a*t)
d/dt (cos(a*t)) = - a * sin(a*t)

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