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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 27 09. 2020 14:46 #76862

In der SRT unterscheidet man zwischen unterschiedlichen Bezugssystemen, aus denen man jeweils ein Ereignis in der Raumzeit unterschiedlich beschreibt. Solche Ereignisse lassen sich zum Beispiel als Vektor mit vier Komponenten darstellen. Je nachdem auf welches Bezugssystem man sich bezieht, müssen die Komponenten eines solchen Vektors evtl. angepasst bzw. transformiert werden. Das bedeutet, dass unterschiedliche Bezugssysteme eigentlich auch unterschiedliche Vektorbasen der "Raumzeitvektoren" sind. Das sieht man ja z.B. auch daran, dass die Achsen eines bewegten Bezugssystems in Minkovski-Diagrammen schief liegen und eine Längeneinheit auf den Achsen unterschiedlich lang sein kann bzw. muss.
Das alles müsste doch bedeuten, dass die Bezugssysteme oder Vektorbasen durch unterschiedliche Metriktensoren beschrieben werden müssten!?
Aber trotzdem finde ich in keiner Quelle irgendeine Information über solche unterschiedlichen Metriken in der SRT. Ich komme sogar selbst nach üblichen Methoden der Mathematik auf immer den selben Tensor, mit der Spur(-1,1,1,1) bzw. der Spur(1,-1,-1,-1) und sonst lauter Nullen.
Was ist der Fehler in meinen Annahmen? Kann Irgendjemand mein Problem verstehen und weiß die Lösung?
Vielen Dank für Eure Antworten im Vorraus.

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 27 09. 2020 15:52 #76868

Das ist schon richtig so. Die flache Raumzeit hat immer dieselbe Metrik. Damit lassen sich beliebig viele Basen bilden, alle gehorchen derselben Metrik.
Folgende Benutzer bedankten sich: Simon Schneider

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 27 09. 2020 16:02 #76870

Danke für die Antwort. Wieso ist die Metrik denn die selbe, wenn sich dann doch die Komponenten des Vektors verändern, wenn man die Vektorbasis wechselt? Oder warum bleibt die Metrik bei unterschiedlichen Basen denn gleich?

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 27 09. 2020 16:09 #76871

Die Metrik bestimmt, wie die Basen eines Systems zusammenspielen müssen.
ds² = x²+y²+z²-t² muss in allen Systemen das gleiche Ergebnis liefern, damit der selbe Vektor sª gebildet werden kann.

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 27 09. 2020 21:46 #76882

Das begründet ja trotzdem nicht warum der Metriktensor nicht unterschiedliche Einträge haben kann !? Das wundert mich ja gerade, warum sich das invariante Linienelement ds^2 nicht in jedem unterschiedlichen Bezugssystem anders zusammensetzt bzw. aus anderen Koeffizienten vor den Summanden bildet.

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 28 09. 2020 00:45 #76888

Simon Schneider schrieb: Das begründet ja trotzdem nicht warum der Metriktensor nicht unterschiedliche Einträge haben kann !?

Doch natürlich.

Es wäre doch nicht dieselbe Realität, wenn unterschiedliche Basen verschiedene Metriken hätten. Dann hättest Du je nach Wahl der Basen unterschiedliche Ergebnisse.

Natürlich gehen wir davon aus, dass die Basen geeignet sind und der Metrik entsprechen, also gleiche Längen, nicht etwa Winkel statt Längen, oder gar unterschiedliche Längen für unterschiedliche Richtungen, oder krumme Winkel zwischen den Dimensionen sondern orthogonal. Bei Polarkoordinaten ist die Freiheit nicht mehr allzu groß.

Genau kann ich das jetzt nicht definieren. In der SRT ist jedenfalls alles zulässig, was auch von einer Lorentztransformation erzeugt werden kann.

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 28 09. 2020 10:38 #76912

ra-raisch schrieb:
Es wäre doch nicht dieselbe Realität, wenn unterschiedliche Basen verschiedene Metriken hätten. Dann hättest Du je nach Wahl der Basen unterschiedliche Ergebnisse.

Aber man hat doch auch unterschedliche Ergebnisse für die Einträge eines Vektors für ein Ereignis, was aus unterschiedlichen Bezugssystemen beschrieben wird. Oder meinst du ds^2?

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 28 09. 2020 17:07 #76935

Simon Schneider schrieb:

ra-raisch schrieb:
Es wäre doch nicht dieselbe Realität, wenn unterschiedliche Basen verschiedene Metriken hätten. Dann hättest Du je nach Wahl der Basen unterschiedliche Ergebnisse.

Aber man hat doch auch unterschedliche Ergebnisse für die Einträge eines Vektors für ein Ereignis, was aus unterschiedlichen Bezugssystemen beschrieben wird. Oder meinst du ds^2?

Ja es geht um s bzw ds². Dies ist die Invariante, auf die es ankommt. Ohne Invariante wäre es keine allgemeingültige Gleichung mehr.

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 28 09. 2020 17:39 #76942

Dem stimme ich ja auch zu. Nur verstehe ich nicht, wieso sich das invariante Linienelement immer aus x^2+y^2+z^2-t^2 zusammensetzt!? Das ds^2 ist ja eigentlich nur ein invariantes Skalarprodukt, was aber nicht bedeutet, dass es immer gleichartig gebildet wird bzw. dem gleichen Metriktensor entspringt.

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 28 09. 2020 18:49 #76945

Simon Schneider schrieb: bzw. dem gleichen Metriktensor entspringt.

Du kannst auch unterschiedliche Metriken für dasselbe Universum bzw Konstellation finden. Jede Metrik muss aber für jeden Beobachter gelten, das heißt, es muss für jeden Beobachter eine entsprechende Basis geben. Sonst ist es keine Metrik, die wir Metrik nennen würden. Es ist auch durchaus möglich, während einer Betrachtung die Metrik zu wechseln, aber man kann beide dann nicht ohne weiteres miteinander vergleichen.

Benützt Du zB zuerst für die flache Raumzeit die Minkowski Metrik und später für ein Gravitationsfeld die Schwarzschildmetrik, dann sind es ja auch vollkommen verschiedene Parameter, einmal x,y,z,t und dann r,φ,θ,t..

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 28 09. 2020 22:42 #76962

Mit Zusammensetzung meine ich nicht, welche Komponenten der Vektoren genutzt werden, sondern wie diese in das Ergebnis einspielen. Für a1x^2+a2y^2+a3z^2+a4t^2 werden in der SRT immer die Werte a1=-1;a2=1;a3=1;a4=1 eingesetzt. In der ART gibt es dann auch andere Terme für a1;a2;a3;a4. Warum nicht in der SRT, obwohl doch auch andere Vektorbasen vorliegen?

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 29 09. 2020 00:41 #76970

Simon Schneider schrieb: Warum nicht in der SRT, obwohl doch auch andere Vektorbasen vorliegen?

Es ist ja kein Glücksspiel sondern das Ergebnis soll ja eine flache Raumzeit ergeben.
Du kannst ja bei Pythagoras auch nicht einfach für die Komponenten beliebige Vorfaktoren wählen r² = x²+y²+z²
Und das Spezielle an der flachen Raumzeit ist eben, dass die Zeit zusätzlich mit dem negativen Quadrat zu berücksichtigen ist, aber Vorfaktoren würden eben eine Krümmung erzeugen bzw besser gesagt: bedeuten.

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 29 09. 2020 08:43 #76978

Simon Schneider schrieb: Für a1x^2+a2y^2+a3z^2+a4t^2 werden in der SRT immer die Werte a1=-1;a2=1;a3=1;a4=1 eingesetzt. In der ART gibt es dann auch andere Terme für a1;a2;a3;a4. Warum nicht in der SRT, obwohl doch auch andere Vektorbasen vorliegen?


Multipliziere doch einfach deine Vektorbasis mit der Metrik und fertig. [a1, a2, a3, a4] * [-1, 1, 1, 1].
[-1, 1, 1, 1] ist die Metrik, [a1, a2, a3, a4] sind deine Skalierungen der Maßeinheiten in verschiedene Richtungen...
Der Unterschied zu gekrümmten Metriken ist vieleicht das da nicht nur Konstanten vorkommen (oder nicht nur die Happtdiagonale besetzt ist?)
(sorry für die etwas unmathematische Ausdrucksweise; ich hoffe der Punkt wird trotzdem klar)

assume good faith

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assume good faith

Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 29 09. 2020 12:13 #76988

Merilix schrieb: Multipliziere doch einfach deine Vektorbasis mit der Metrik und fertig. [a1, a2, a3, a4] * [-1, 1, 1, 1].
[-1, 1, 1, 1] ist die Metrik, [a1, a2, a3, a4] sind deine Skalierungen der Maßeinheiten in verschiedene Richtungen...
Der Unterschied zu gekrümmten Metriken ist vieleicht das da nicht nur Konstanten vorkommen (oder nicht nur die Happtdiagonale besetzt ist?)

Wenn Du das so machst, dann musst Du alle Basen gleich skalieren, wozu dann noch der Faktor, nur um das Ergebnis in anderer Skalierung zu erhalten? Bzw bei unterschiedlichen Faktoren bekommst Du ein ziemlich sinnlos verzerrtes Ergebnis. Man könnte gerade nicht mehr Längen in unterschiedlichen Richtungen vergleichen.

Aber wenn es dafür eine Anwendung gibt, vielleicht in der Optik, warum nicht.

Auf jeden Fall könnte man derartige Asymmetrien (zumindest den räumlichen Anteil) auf eine Symmetrieachse bündeln, also eine Zylindersymmetrie mit nur einem einzigen Vorfaktor finden. Es gibt für das allgemeine Ellipsoid sogar zwei derartige Lösungen, Prof.Wagner erwähnt dies in meinem kürzlich verlinkten Video zur Doppelbrechung.

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Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 29 09. 2020 13:35 #76992

ra-raisch schrieb:

Merilix schrieb: Multipliziere doch einfach deine Vektorbasis mit der Metrik und fertig. [a1, a2, a3, a4] * [-1, 1, 1, 1].
[-1, 1, 1, 1] ist die Metrik, [a1, a2, a3, a4] sind deine Skalierungen der Maßeinheiten in verschiedene Richtungen...
Der Unterschied zu gekrümmten Metriken ist vieleicht das da nicht nur Konstanten vorkommen (oder nicht nur die Happtdiagonale besetzt ist?)

Wenn Du das so machst, dann musst Du alle Basen gleich skalieren,

Sicher, deshalb ist die Lorentzkontraktion auch unabhängig von der Richtung.... ach nee, das war anders^^

Die Metrik diag(-1,1,1,1) für eine flache RZ sieht deshalb so aus weil das eine Einheitsmatrix ist die sagt, weil alle anderen Einträge 0 sind, das x1 nur von x1 abhängt, x2 nur von x2, x3 nur von x3 und x4 nur von x4.

assume good faith

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assume good faith

Unterschiedliche Metriken auch in der SRT? 29 09. 2020 14:23 #77000

Danke für eure Antworten, ich habe es jetzt schon besser verstanden.

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