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THEMA: Verständnisfrage: Ableiten in der Physik - Konstanten und Einheiten

Verständnisfrage: Ableiten in der Physik - Konstanten und Einheiten 02 Apr 2019 08:51 #50511

Hallo. Ich habe eine Frage zur Folge 7 der Reihe:


Ab ca. 34 Minuten geht es um das Gravitationspotenzial (Phi) und die zugehörige Formel.

Das Ableiten von Phi nach r ergibt dann die Formel: F= - m mal Ableitung von Phi nach r.

Nun meine Frage: Wenn man Phi nach r ableitet bekommt man -1/r-Quadrat; r hat die Einheit Meter, m sind kg. Q und M aus der Formel vom Gravitationspotenzial sind mathematisch ja Konstanten und fallen somit weg.
Es handelt sich jedoch um eine Formel für die Kraft also müsste man durch die Rechnung ja Newton erhalten. Man bekommt aber kg/meter-Quadrat.

Was passiert mit den Einheiten beim Ableiten? Oder habe ich da etwas grundsätzliches falsch verstanden. Ich bin eigentlich ziemlich fit in Analysis.

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Verständnisfrage: Ableiten in der Physik - Konstanten und Einheiten 02 Apr 2019 14:11 #50517

meisterlampe1989 schrieb: Was passiert mit den Einheiten beim Ableiten? Oder habe ich da etwas grundsätzliches falsch verstanden. Ich bin eigentlich ziemlich fit in Analysis.

Konstante Faktoren (hier G und M samt Einheiten) 'verschwinden' bei einer Ableitung ja nicht, sondern bleiben erhalten.

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Verständnisfrage: Ableiten in der Physik - Konstanten und Einheiten 20 Mai 2019 09:23 #52008

Moin!
Hier ein paar Ideen von mir zu deinen Fragen... :)

meisterlampe1989 schrieb: Was passiert mit den Einheiten beim Ableiten?

Die Einheiten verhalten sich beim Ableiten passend zur Ableitung. Denk dir die Ableitung als Änderungsrate. Dann hast du zum Beispiel hier Potentialänderung pro Meter, also die Einheit des Potentials geteilt durch Meter. Genauso liefert dir die zeitliche Änderung eines Weges (in Metern) die Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde).

meisterlampe1989 schrieb: Nun meine Frage: Wenn man Phi nach r ableitet bekommt man -1/r-Quadrat; r hat die Einheit Meter, m sind kg. Q und M aus der Formel vom Gravitationspotenzial sind mathematisch ja Konstanten und fallen somit weg.


Vorsicht, nicht verwechseln! Die Konstantenregel gilt für die Addition eines konstanten Faktors, der dann wegfällt. Beim Multiplizieren mit konstanten Faktoren gilt die Faktorregel! Ein konstanter Faktor bleibt einfach vor dem Produkt stehen und verändert sich nicht.

meisterlampe1989 schrieb: Das Ableiten von Phi nach r ergibt dann die Formel: F= - m mal Ableitung von Phi nach r.

Das ist richtig, und eigentlich verschwindet sogar auch noch das Minuszeichen. Denn der Ausdruck für die Kraft lautet F = - m*grad(Phi) (grad(...) ist der Gradient, der Summenvektor der partiellen Ableitungen in alle Richtungen des gewählten Koordinatensystems malgenommen mit ihren Basisvektoren). Denn, was hier zusätzlich auch noch passiert, ist dass aus einem skalaren Feld (Potential, ein Wert pro Punkt im Raum) ein vektorielles berechnet wird. Die Kraft ist ein Vektor (Pfeil) in jedem Punkt des Feldes (mit den Eigenschaften Betrag und Richtung). Denn wenn ein Vektor (Kraft) rauskommt, muss (wie auch bei den Einheiten) das ja irgendwo herkommen (hier eben aus dem Gradienten).

meisterlampe1989 schrieb: Es handelt sich jedoch um eine Formel für die Kraft also müsste man durch die Rechnung ja Newton erhalten. Man bekommt aber kg/meter-Quadrat.

Müsste auch richtig sein... Vielleicht schau ich später auch mal das Video, aber du kannst ja schon mal ne schnelle Dimensionsanalyse machen... :)

Liebe Grüße :)

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Verständnisfrage: Ableiten in der Physik - Konstanten und Einheiten 20 Mai 2019 19:35 #52022

meisterlampe1989 schrieb: Es handelt sich jedoch um eine Formel für die Kraft also müsste man durch die Rechnung ja Newton erhalten. Man bekommt aber kg/meter-Quadrat.


Newton ist ja auch nur ein Name für Kilogrammeter pro Quadratsekunde.

PS:
zur Ableitung der Einheiten braucht man sich nur mal vor Augen halten wofür das d in der Leibnizschreibweise eigentlich steht. Das kann man als Delta also als Differenz zweier nah beieinaner liegender Werte lesen. Damit wird klar das mit den Einheiten nichts besonderes passiert.
\[\frac{d\phi}{d r} = \frac{(\phi_1-\phi_0) (\frac{m^2}{s^2})}{(r_1-r_0) m}\]
es müsste also \(\frac{m}{s^2}\) herauskommen. Mal eine Masse ergibt dann \(\frac{kg\cdot m}{s^2} = N\)

BTW: Ich komme bei der Einheit immer wieder in Versuchung mir eine Quadratsekunde vorstellen zu wollen^^ ;)

Noch eine Anmerkung:
Einheiten sind ja eigentlich nichts anderes als Namen für anmultiplizierte Konstanten und so zu behandeln.

assume good faith
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Verständnisfrage: Ableiten in der Physik - Konstanten und Einheiten 21 Mai 2019 13:10 #52048

Merilix schrieb: BTW: Ich komme bei der Einheit immer wieder in Versuchung mir eine Quadratsekunde vorstellen zu wollen^^ ;)


Da habe ich mich auch schon drüber amüsiert... :D Kommt ja von der Beschleunigung, wo man die Änderung einer Geschwindigkeit in m/s pro Sekunde misst, also (m/s)/s, dann gibt's ja schon Sinn... :)

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Verständnisfrage: Ableiten in der Physik - Konstanten und Einheiten 21 Mai 2019 14:43 #52054

Wenn Phi=GM/r ist, dann ist dPhi/dr = -GM/r^2. Die Konstanten fallen (natürlich) nicht weg.

Edit: Ups, hatte die ganzen Antworten nicht gesehen.

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