THEMA: Ist der Raum um ein Schwarzes Loch herum gekrümmt?

Ich wette, 99% der Foristen (bis auf Yukterez) sagen jetzt: ja natürlich! Es ist aber nicht so. Die Raumzeit ist flach. Nur die Metrik ist keine Minkowski-Metrik. Die Metrik ist aber an allen Orten die Schwarzschild-Metrik. Und die ist nicht gekrümmt, weil sie statisch ist und an allen Orten und Zeiten gleich. Wie ich darauf komme? Ganz einfach. Für Vakuumlösungen (Quellenfreiheit) der Feldgleichngen gilt:
\[R_{\mu\nu}=0\] In Worten: Ricci-Tensor (Krümmungstensor) nicht vorhanden. Aus dem Ricci-Tensor erhält man den Ricci-Skalar \(R\). Auch der ist nicht vorhanden. Aus diesem Gleichungsansatz entwickelt man die Schwarzschild-Lösung. Also: Raumzeit um ein SL nicht gekrümmt....doch gekrümmt. Ich bitte um Gegenmeinungen.

skalare Flächenkrümmung der Raumzeit bei rs
²3(c²/mG)²/2 = ²3/2rG² = ²12/rs²

ra-raisch schrieb: skalare Flächenkrümmung der Raumzeit bei rs
²3(c²/mG)²/2 = ²3/2rG² = ²12/rs²

Typisch Rainer. Haut mal eben was raus. Bitte erläutern, wie Du darauf kommst.

Der Krümmungstensor ist bei der Vakuumlösung Null? Tatsächlich? Kenn mich damit nicht aus, habe aber immer gelesen, dass bei einer Vakuumlösung der Energie-Impulstensor auf Null gesetzt wird.

Rupert schrieb: Der Krümmungstensor ist bei der Vakuumlösung Null? Tatsächlich?

Ja, das ist tatsächlich so. Darauf wollte ich Euch ja hinweisen.

Kenn mich damit nicht aus, habe aber immer gelesen, dass bei einer Vakuumlösung der Energie-Implustensor auf Null gesetzt wird.

Das ist richtig, den setzt man auf Null. Damit wird die rechte Seite der Feldgleichungen Null. Also:
\[R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=0\] Daraus ergibt sich dann z.B. durch Spurbildung:

\(R_{\mu\nu}=0\) und damit \(R=0\).

Man muss jetzt aber auch wissen, dass es Krümmungsgrössen gibt, die im Vakuum der Schwarzschild-Lösung nicht Null sind. Zum Beispiel der Riemannsche Krümmungstensor, der Weyl-Tensor und der Kretschmann-Skalar. Nur, diese Grössen sind nicht Bestandteil der Einsteinschen Feldgleichungen. Gemäss Einstein ist der Raum um ein SL herum schlicht und einfach nicht gekrümmt. Wäre er gekrümmt, würde der Raum selbst potentielle Energie enthalten. So etwas ist gemäss Einstein nur bei dynamischen Gravitationswellen erlaubt. Die können Energie transportieren.

Keine Ahnung, ich bin niemand der die Einsteinschen Feldgleichungen lösen kann.
Ich hätte schlicht gesagt: Die Seite mit der Dfifferenz von Riccitensor und Krümmungsskalar muss somit auch Null werden.

Rupert schrieb: Keine Ahnung, ich bin niemand der die Einsteinschen Feldgleichungen lösen kann.
Ich hätte schlicht gesagt: Die Seite mit der Dfifferenz von Riccitensor und Krümmungsskalar muss somit auch Null werden.

Das ist ja auch völlig richtig.

Michael D. schrieb:

Rupert schrieb: Keine Ahnung, ich bin niemand der die Einsteinschen Feldgleichungen lösen kann.
Ich hätte schlicht gesagt: Die Seite mit der Dfifferenz von Riccitensor und Krümmungsskalar muss somit auch Null werden.

Das ist ja auch völlig richtig.

Ganz allgemein gelöst heisst das ja dann zuersteinmal nur: \(R_{μν}=\frac{1}{2}Rg_{μν}\)

Das ist für \(R_{μν}=0\) und \(R=0\) sicher erfüllt.

Rupert schrieb: Ganz allgemein gelöst heisst das ja dann zuersteinmal nur: \(R_{μν}=\frac{1}{2}Rg_{μν}\)
Das ist für \(R_{μν}=0\) und \(R=0\) sicher erfüllt.

Genauso ist es. Um die Feldgleichungen zu lösen, geht man am Beispiel Schwarzschild-Lösung folgendermassen vor:

1. Man wählt ein geeignetes KO-System. Für die Schwarzschild-Lösung die Kugelkoordinaten.
2. Man stellt einen Ansatz für den Metrik-Tensor \(g_{\mu\nu}\) auf.
3. Man bestimmt aus diesem Ansatz die Christoffelsymbole (Ableitungen des Metrik-Tensors).
4. Man bestimmt aus den Christoffelsymbolen den Riemannschen Krümmungstensor.
5. Man bestimmt aus dem Riemanschen Krümmungstensor den Ricci-Tensor.
6. Man setzt den Ricci-Tensor gleich 0.
7. Man erhält ein Gleichungssystem, dass man nach den Unbekannten auflöst und erhält die gesuchte Metrik.

Ich empfehle bei Interesse folgendes Video:


Das Erstaunliche ist aber, dass man zur Ermittlung der Schwarzschild-Metrik den Riemannschen Krümmungstensor bestimmen muss, der nicht Bestandteil der Feldgleichungen ist. Bestandteil ist lediglich seine Kontraktion, der Ricci-Tensor. Bei dieser Kontraktion fallen aber genau die Raumkrümmungen weg, mit denen man zwar die Metrik bestimmt, die aber nicht Bestandteil der Feldgleichungen sind. Warum sind sie nicht Bestandteil der Feldgleichungen? Damit der Raum selbst keinen Energieinhalt hat, d.h. quellenfrei ist. Jetzt kann man natürlich die Frage stellen: Warum muss der Raum selbst eigentlich quellenfrei sein? Tja, da müssen wir wohl den Albert selbst fragen...

Keine Ahnung - ich weiß nicht wie Riccitensor, metrischer Tensor und Krümmungsskalar zusammenhängen; das ist ja nicht so ganz unwichtig um die obige Gleichung zu lösen.

Rupert schrieb: Keine Ahnung - ich weiß nicht wie Riccitensor, metrischer Tensor und Krümmungsskalar zusammenhängen; das ist ja nicht so ganz unwichtig um die obige Gleichung zu lösen.

Aber ich weiss es und versuche es Dir zu vermitteln. Und wenn Du das verstanden hast, hast Du die nächste Stufe erreicht und wir können vernünftig diskutieren. Lies nochmal die letzten Beiträge. Ich hab sie inzwischen noch ergänzt.

Hab ich gelesen - samt Ergänzungen - leuchtet mir dennoch nicht ein; kann ich halt so hinnehmen wie es dasteht.
Zum Verstehen müsste ich ich wieder mit Tensoranalysis beschäftigen.

Rupert schrieb: Hab ich gelesen - samt Ergänzungen - leuchtet mir dennoch nicht ein; kann ich halt so hinnehmen wie es dasteht. Zum Verstehen müsste ich ich wieder mit Tensoranalysis beschäftigen.

Was leuchtet denn rein logisch nicht ein?

Vielleicht solltet Ihr erst mal den Zusammenhang zwischen Riemann-Krümmung und Ricci-Krümmung klären.

Gruß,
Lulu

Lulu schrieb: Vielleicht solltet Ihr erst mal den Zusammenhang zwischen Riemann-Krümmung und Ricci-Krümmung klären.

Mir ist das klar. Die Frage ist, ob es Dir und Rupert klar ist. Wenn Ihr wollt, erkläre ich Euch den Unterschied.

Michael D. schrieb:

Lulu schrieb: Vielleicht solltet Ihr erst mal den Zusammenhang zwischen Riemann-Krümmung und Ricci-Krümmung klären.

Mir ist das klar. Die Frage ist, ob es Dir und Rupert klar ist. Wenn Ihr wollt, erkläre ich Euch den Unterschied.

Dann ist Dir auch klar, dass das Verschwinden der Ricci-Krümmung nicht bedeutet, dass auch die Riemann-Krümmung verschwinden muss.
Was soll dann dieser thread?

Gruß,
Lulu

Hatte ich an und für sich auch so im Kopf - weil ich es halt las: Riemanntensor verschwindet, heisst Raumzeit ist nicht gekrümmt.

Sonst:
Kommt ja nicht von ungefähr, dass ich die Vermutung äusserte, dass der Zusammenhang zwischen metrischen Tensor, Riemanntensor, Ricci-Tensor und Ricci-Skalar nicht so ganz unwichtig ist um die Chose verstehen und lösen zu können.

Lulu schrieb: Dann ist Dir auch klar, dass das Verschwinden der Ricci-Krümmung nicht bedeutet, dass auch die Riemann-Krümmung verschwinden muss.

Die Riemann-Krümmung ist nicht Bestandteil der Einsteinschen Feldgleichungen. Die Ricci-Krümmung ist Bestandteil der Feldgleichungen. Und die ist 0 im Vakuum. Daher ist gemäss Einstein der Raum um ein SL nicht gekrümmt.

Rupert schrieb: Hatte ich an und für sich auch so im Kopf - weil ich es halt las: Riemanntensor verschwindet, heisst Raumzeit ist nicht gekrümmt.

Die Feldgleichungen sprechen eine eindeutige Sprache: Die Raumzeit ist bereits ungekrümmt, wenn der Ricci-Tensor verschwindet, obwohl der Rieman-Tensor gekrümmt sein kann. Heisst im Grunde, dass die Einsteinschen Feldgleichungen bereits eine Vereinfachung darstellen. Warum? Weil auf der rechten Seite ein Tensor 2. Stufe (Energie-Impuls-Tensor) steht. Dann muss automatisch links auch ein Tensor 2. Stufe stehen. Und diese Bedingung erfüllt nunmal nur der Ricci-Tensor und nicht der Riemann-Tensor. Wie man es auch dreht und wendet: Die Raumzeit um ein SL herum ist gemäss den Einsteinschen Feldgleichungen nicht gekrümmt. Wäre sie gekrümmt, müsste sie eine potentielle Energie beinhalten, was einer Quelle entspräche. Das ist aber gemäss Einstein wiederum verboten.

Lulu schrieb: Was soll dann dieser thread?

Ich werfe einen kritischen Blick auf die Einsteinschen Feldgleichungen. So kennt man mich ja inzwischen.

Michael D. schrieb:

ra-raisch schrieb: skalare Flächenkrümmung der Raumzeit bei rs
²3(c²/mG)²/2 = ²3/2rG² = ²12/rs²

Typisch Rainer. Haut mal eben was raus. Bitte erläutern, wie Du darauf kommst.

Das war der Kretschmann-Skalar (genau genommen die Wurzel daraus.).

Die vollständige Information über die Krümmung ist allerdings nicht im Ricci-Tensor sondern im Riemannschen Krümmungstensor enthalten; dieser verschwindet nicht! Aus ihm kann man unterschiedliche Krümmungsskalare ableiten, u.a. den Kretschmann-Skalar
D.h. die Schwarzschild-Lösung ist lediglich Ricci-flach, enthält jedoch im Außenraum eine nicht-verschwindende Weyl-Krümmung!

.....hast Du ja inzwischen selber alles erwähnt.

Dass die Schwarzschildlösung im Außenraum flach ist, wundert mich jetzt aber nicht gerade sonderlich.
Im Innenraum ist die Schwarzwschildlösung alles andere als eine Vakuumlösung

Michael D. schrieb: den setzt man auf Null. Damit wird die rechte Seite der Feldgleichungen Null. Also:
\[R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=0\] Daraus ergibt sich dann z.B. durch Spurbildung:

\(R_{\mu\nu}=0\) und damit \(R=0\).

Man muss jetzt aber auch wissen, dass es Krümmungsgrössen gibt, die im Vakuum der Schwarzschild-Lösung nicht Null sind. Zum Beispiel der Riemannsche Krümmungstensor, der Weyl-Tensor und der Kretschmann-Skalar. Nur, diese Grössen sind nicht Bestandteil der Einsteinschen Feldgleichungen. Gemäss Einstein ist der Raum um ein SL herum schlicht und einfach nicht gekrümmt. Wäre er gekrümmt, würde der Raum selbst potentielle Energie enthalten. So etwas ist gemäss Einstein nur bei dynamischen Gravitationswellen erlaubt. Die können Energie transportieren.

Wenn Du die Gleichung auf Null setzt, setzt Du das Ergebnis ja schon halb voraus.
Rμν ist aber keine Spurbildung, sondern R=\(R_μ^μ\) ist die Spur von Rμν , und wenn Du Rμν=0 setzt, da kann man sich die Rechnung natürlich sparen.

Ob ricciflach oder nicht, was soll uns das sagen?

Achso, ja klar, die Raumzeit ist nicht in sich selbst gekrümmt, sie wir nur durch das SL gekrümmt. OK so?

ra-raisch schrieb: Das war der Kretschmann-Skalar (genau genommen die Wurzel daraus.).

Der Kretschmann-Skalar ist nicht Bestandteil der Feldgleichungen.

Die vollständige Information über die Krümmung ist allerdings nicht im Ricci-Tensor sondern im Riemannschen Krümmungstensor enthalten; dieser verschwindet nicht!

Das mag ja sein. Aber diese Information ist in den Feldgleichungen nicht mehr enthalten. Sonst wäre der Ricci-Tensor nicht 0.

Aus ihm kann man unterschiedliche Krümmungsskalare ableiten, u.a. den Kretschmann-Skalar
D.h. die Schwarzschild-Lösung ist lediglich Ricci-flach, enthält jedoch im Außenraum eine nicht-verschwindende Weyl-Krümmung!

Die Weyl-Krümmung ist auch nicht Bestandteil der Feldgleichungen. Merkste was?

Dass die Schwarzschildlösung im Außenraum flach ist, wundert mich jetzt aber nicht gerade sonderlich.

Das sollte es aber. Denn die Krümmung, die alle meinen, ist nicht Bestandteil der Feldgleichungen.

Im Innenraum ist die Schwarzwschildlösung alles andere als eine Vakuumlösung

Die steht hier nicht zur Diskussion.

ra-raisch schrieb: Ob ricciflach oder nicht, was soll uns das sagen?

Dass diejenigen falsch liegen, und das sind nicht Wenige, die behaupten, dass der Raum um ein SL herum gekrümmt ist.

Achso, ja klar, die Raumzeit ist nicht in sich selbst gekrümmt, sie wir nur durch das SL gekrümmt. OK so?

Nein, sie ist gemäss Einstein ausserhalb des SL überhaupt nicht gekrümmt.

Michael D. schrieb: Die Raumzeit um ein SL herum ist gemäss den Einsteinschen Feldgleichungen nicht gekrümmt. Wäre sie gekrümmt, müsste sie eine potentielle Energie beinhalten, was einer Quelle entspräche. Das ist aber gemäss Einstein wiederum verboten.

Achso, ja klar, die Raumzeit ist nicht in sich selbst gekrümmt, sie wir nur durch das SL gekrümmt. OK so?

www.spektrum.de/lexikon/astronomie/raumzeit/393
Besonders ausgeprägt ist die Krümmung der Raumzeit bei Schwarzen Löchern, die durch die Schwarzschild-Metrik (statisch) oder Kerr-Metrik (rotierend) beschrieben werden. Die Krümmung wird erst nahe am Schwarzen Loch besonders hoch und verschwindet bei großen Abständen. Die Relativisten sagen: Dort ist die Metrik asymptotisch flach.

ra-raisch schrieb: Achso, ja klar, die Raumzeit ist nicht in sich selbst gekrümmt, sie wir nur durch das SL gekrümmt. OK so?

Nein, gemäss Einstein ist die Raumzeit ausserhalb des SL überhaupt nicht gekrümmt.

Michael D. schrieb:

ra-raisch schrieb: Achso, ja klar, die Raumzeit ist nicht in sich selbst gekrümmt, sie wir nur durch das SL gekrümmt. OK so?

Nein, gemäss Einstein ist die Raumzeit ausserhalb des SL überhaupt nicht gekrümmt.

Das ist eine Definitionsfrage, es gibt ja diverse unterschiedliche Krümmung. Jedenfalls weicht in der Nähe einer Masse der Radius von U/2π ab. Das nenne ich schon eine Krümmung des Raumes, und für die Zeit gilt ähnliches.

Eine einheitliche allgemeine Raumzeitkrümmung liegt der Schwarzschildlösung natürlich nicht zu Grunde.

ra-raisch schrieb: Das ist eine Definitionsfrage, es gibt ja diverse unterschiedliche Krümmung.

Es ist bereits definiert. Massgeblich sind die Feldgleichungen mit Ricci-Krümmung. Alles Andere wird nicht berücksichtigt.

Eine einheitliche allgemeine Raumzeitkrümmung liegt der Schwarzschildlösung natürlich nicht zu Grunde.

Wir reden hier über die äussere Vakuumlösung. Da ist die massgebliche Ricci-Krümmung 0. Aus die Maus.

Was soll auch bei der Schwarzschildlösung die Raumzeit außer der Masse, die in einem Punkt kontentriert ist, noch krümmen?
Das ist ja recht einsichtig, dass da nix weiter krümmt.

Rupert schrieb: Was soll auch bei der Schwarzschildlösung die Raumzeit außer der Masse, die in einem Punkt kontentriert ist, noch krümmen?

Ein SL ist ja nicht in einem Punkt konzentriert. Es hat ja einen Schwarzschildradius.

Das ist ja recht einsichtig, dass da nix weiter krümmt.

Schön, dass Du es verstanden hast. Dann bist Du schon weiter als ein Grossteil der anderen Foristen. Ein SL krümmt den Raum um sich herum nicht.

Ne, aber die Masse - das ist zumindest, das was ich mir so anlas und verstand bzgl. Schwarzschild: In der Singularität ist sozusagen die Masse konzentriert.

Michael D. schrieb: Ist der Raum um ein Schwarzes Loch herum gekrümmt?

Ist die Winkelsumme eines Vierecks dort 360°? Nein. Also ist der Raum gekrümmt.

Michael D. schrieb: Nein, gemäss Einstein ist die Raumzeit ausserhalb des SL überhaupt nicht gekrümmt.

Das hieße dass es außerhalb des schwarzen Lochs keine Gravitation gäbe.

Anderer Meinung,

Rupert schrieb: Ne, aber die Masse - das ist zumindest, das was ich mir so anlas und verstand bzgl. Schwarzschild: In der Singularität ist sozusagen die Masse konzentriert.

Gemäss Schwarzschild aber nicht. Da beginnt der Massebereich direkt hinterm EH und wird als homogene Flüssigkeitskugel angenommen. Also keine Vakuumlösung mehr. Wir befinden uns dann in der Quelle.

Michael D. schrieb:

Rupert schrieb: Ne, aber die Masse - das ist zumindest, das was ich mir so anlas und verstand bzgl. Schwarzschild: In der Singularität ist sozusagen die Masse konzentriert.

Gemäss Schwarzschild aber nicht. Da beginnt der Massebereich direkt hinterm EH und wird als homogene Flüssigkeitskugel angenommen. Also keine Vakuumlösung mehr. Wir befinden uns dann in der Quelle.

Dann erzählen halt die Autoren wie z.B. der Andreas Müller was anderes als Du, bei denen las ich immer: In der Singluarität steckt die Masse des SL - auch bei Schwarzschild.
Wem ich jetzt da mehr glaube, überlasse ich Deiner Einschätzung.