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THEMA: Folge 38 und 39 Pfadintegral der Wellenfs mit Faktor / Wahrscheinlichkeitsdichte

Folge 38 und 39 Pfadintegral der Wellenfs mit Faktor / Wahrscheinlichkeitsdichte 31 Jan 2019 23:35 #48119

Hi Professor Gaßner,

Wir sind begeisterte Zuschauer der Serie von "Aristoteles zur String Theorie" und besonders interessiert an den Ausführungen zur Quantenmechanik und Richard Feynmans Ideen (von dem wir auch diverse Original-Aufnahmen gesehen und Schriften gelesen haben).

Die aufgezeigte Erklärung zum Pfad-Integral ist ja sehr instruktiv, aber im Detail haben wir Bedenken diskutiert.

So erscheint es uns nicht sinnvoll, dass der Wert des Quadrat des Betrags der Summe der Amplituden der Wellenfunktionen aller Pfade die Wahrscheinlichkeit eines Messwertes an einem Punkt im Raum-Zeit-Kontinuum sein soll. Der Wert einer kontinuierlichen Funktion, die über die Raumzeit integriert auf "1" normiert ist, kann sich an einem singulären Punkt nur infinitesimal von 0 unterscheiden. Die Wahrscheinlichkeit an einem Punkt ist also "P-fast-unmöglich".

Demzufolge müsste man eigentlich eine Wahrscheinlichkeits-Dichte betrachten und die Wahrscheinlichkeit für einen zu definierenden Bereich in der Raumzeit angeben, oder noch genauer, die "Empfindlichkeits-Funktion" der Mess-Apparatur mit der zu messenden Wellenfunktion multiplizieren (klassisch nach der Betrags-Bildung, quantenmechanisch muss vermutlich der komplexe Mess-Operator der Apparatur auf die Wellenfunktions-Summe angewendet werden) und über die ganze Raumzeit integrieren um die Wahrscheinlichkeit für das Messergebnis zu erhalten.

Nun ist aber - für die ursprüngliche Darstellung hübscher Weise - das "Quadrat des Betrags .... " dimensionslos und damit eine Wahrscheinlichkeit und keine Wahrscheinlichkeits-Dichte, die eine Dimension "1/(Länge^3 * Zeit)" haben müsste. Der in der späteren Folge aufgezeigt Pfad-Längen-Faktor Faktor "1/r" hilft da auch nicht sehr viel weiter: die so gewonnene Funktion hätte die Dimension "1/Länge^2" und wäre damit weder eine Wahrscheinlichkeit noch eine Wahrscheinlichkeits-Dichte in der Raumzeit, sondern eine Wahrscheinlichkeits-Dichte auf einer Fläche. Daraus ließe sich die Wahrscheinlichkeit, dass das Messergebnis irgendwann diese Fläche mit einer beliebigen Geschwindigkeit durchstößt bestimmen. Das ist zwar sicherlich sinnvoll, aber unserer Meinung nach nur ein Teil der "Wahrheit".

-Michael und Julian Schnell, Krefeld

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Folge 38 und 39 Pfadintegral der Wellenfs mit Faktor / Wahrscheinlichkeitsdichte 01 Feb 2019 12:44 #48139

Hallo Michael und Julian,
hier sind ein paar Begriffe durcheinander geraten: Wir betrachten nicht irgendwelche Wellenfunktionen, sondern Wahrscheinlichkeitsamplituden für bestimmte Ereignisse. Diese Amplituden summieren wir auf und quadrieren das Ergebnis um eine Gesamtwahrscheinlichkeit für das Ereignis zu erhalten. Wenn Sie ausgehend von einer Quelle für jeden Punkt im Raum dieses Prozedere durchführten, könnten Sie daraus die Wellenfunktion konstruieren, das ist aber eine andere Geschichte.
Zur Effizienz des Messprozesses: Wir berechnen lediglich, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis eintreten wird. Wenn ein entsprechender Detektor eine Effizienz kleiner 100 Prozent aufweist, werden Sie selbstverständlich bei einem realen Messprozess mit diesem Gerät eine entsprechend verringerte Trefferquote erhalten - ich denke, das ist trivial - im Extremfall würden Sie mit einem defekten Gerät kein Ereignis messen...

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Folge 38 und 39 Pfadintegral der Wellenfs mit Faktor / Wahrscheinlichkeitsdichte 01 Feb 2019 23:19 #48168

Die Sache mit den Wahrscheinlichkeits-Amplituden (und deren Betrags-Quadraten) ist uns vollständig klar.
Es geht darum, ob diese Betragsquadrate tatsächlich direkt Wahrscheinlichkeiten sind, oder (versehen mit einem Faktor) doch eine Wahrscheinliuchkeits-Dichte angeben. Lauf Folge 39 ist das ja so. Der Faktor ist da eine 1/Länge, was zu einer Dimension 1/Länge² im Betragsquadrat führt, was eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf einer Fläche ist (wie in der Folge erklärt wird.)

Sinnvoller erschiene uns aber eine Wahrscheinlichkeitsdichte in der Raumzeit

Siehe auch en.wikipedia.org/wiki/Probability_amplitude -> probability density

-Michael

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Folge 38 und 39 Pfadintegral der Wellenfs mit Faktor / Wahrscheinlichkeitsdichte 03 Feb 2019 09:10 #48244

Hallo Michael,
ich bin mir immer noch nicht sicher, ob ich Ihre Frage richtig verstehe - aber ich habe eine Vermutung: Sie denken, die Länge der Pfeile hätten die Dimension einer Länge? Die Pfeile repräsentieren komplexe Zahlen, wobei wir die Darstellung \( r \exp{(i \phi)} \) gewählt haben. r repräsentiert die Länge des Pfeils (in der komplexen Zahlenebene) - ist aber nur eine reelle, dimensionslose Zahl. Ihr Quadrat bleibt ebenfalls eine dimensionslose Zahl...
Beantwortet das Ihre Frage?

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Folge 38 und 39 Pfadintegral der Wellenfs mit Faktor / Wahrscheinlichkeitsdichte 03 Feb 2019 12:19 #48250

Ja. genau das habe ich mit meinem Sohn (Julian) diskutiert, und das war der Anlass, warum ich hier die (vielleicht nicht ganz glücklich formulierte) Frage stelle. Julian hat auch in allen möglichen anderen Quellen gefunden, dass der Wertebereich einer Wellelnfunktion - also auch der Überlagerung / Summe von vielen davon - einfach nur eine komplexe Zahl ist.

Da habe ich aber zwei Einwände. D.h. ich vermute da eine - vermutlich i.A: zulässige - Vereinfachung, deren Hintergrund ich gerne verstehen würde.

1) in Folge 39 wurde die Vereinfachung, dass der "Pfeil" immer auf die Länge 1 normiert wird, diskutiert. Wenn ich das richtig verstanden habe, sollte die Länge "eigentlich" mit dem Kehrwert der Länge des jeweiligen Pfades gewichtet werden (also r = 1/Länge). Warum das so ist wurde da nicht diskutiert (ist im Moment auch nicht wesentlich). Es wurde (mir) klar, dass die Vereinfachung (ohne Faktor) zulässig ist, weil die Pfade deutlich anderer Länge als der kürzest möglichen, sich ohnenhin mit ihren direkten Nachbarn weg-interferieren und nicht mehr in Erscheinung treten, und der Vor-Faktor (also auch die Länge) der übrig gebliebenen durch die Normierung auf Gesamt-Wahrscheinlichkeit "1" egal ist.
Nun ist die Länge des Pfades aber eben nicht dimensionslos und ich sehe nicht ein, dass die Dimension da einfach gestrichen werden muss. Dass sie zur Vereinfachung gestrichen werden kann da habe ich nicht gegen.

2) Wie in meiner ursprünglichen Mail geschrieben, kann ich nicht verstehen, wie es eine von 0 unterschiedliche Wahrscheinlichkeit an einem Raumzeit Punkt geben kann. Da die Raumzeit im allgemeinen nicht als gequantelt angesehen wird, ist ein Raumzeit Punkt infinitesimal klein und damit auch die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert von was auch immer ebenfalls infinitesimal klein. Wenn ich also eine Wahrscheinlichkeit ungleich 0 von "irgendetwas" (in der Nähe eines Raumzeit-Punktes) ermitteln will, muss ich (im Prinzip) einen "RaumZeit-Körper" angeben innerhalb dessen das Ereignis mit der zu ermittelnden Wahrscheinlichkeit auftreten wird. Das ist aber eben eine (dimensions-behaftete) Wahrscheinlichkeits-Dichte (-Funktion) und keine (dimensionslose) Wahrscheinlichkeit (s-Funktion). In einigen (englischen) Artikeln habe ich auch tatsächlich gefunden, dass das Betragsquadrat der komplexen Wellenfunktion ("-s-Amplitude") eine "Probability-Density" (Wahrscheinlichkeitsdichte) ist, aber keine weiteren Erklärungen dazu. (Ein von einem Impuls anhängiges Ereignis an einem festen Raum-Punkt messen zu wollen, bzw ein von der Energie abhängiges Ereignis zu einem festen Zeitpunkt messen zu wollen widerspricht im übrigen auch der Unschärfe-Relation, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist Null .)

3) Das in (2) erwähnte "Ereignis", dessen Wahrscheinlichkeit (s-Dichte) ermittelt werden soll, ist ja im Prinzip durch die Definition des "Experiments" bestimmt. Es kann z.B. der "Durchtritt eines Teilchens durch eine Kugeloberfläche sein. Dabei ergibt dann anscheinend eine Wichtung der "Pfeillänge" mit 1/Pfadlänge im Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeits-Dichte als Funktion von der Koordinaten auf der Kugeloberfläche mit der dafür korrekten Dimension 1/Länge² (OK, man könnte auch in Polar-Koordinaten rechnen, aber um die Wahrscheinlichkeit aus der Wahrscheinlichkeits-Dichte auf der Fläche zu berechnen, muss man irgendwie über die Fläche integrieren).

4) Mich würde jetzt interessieren, wie man das Experiment so definieren und damit die Berechnung des Pfad-Integrals so anlegen kann, dass das Ergebnis eine Wahrscheinlichkeits-Dichte als Funktion der Raumzeit-Koordinate ist und man damit direkt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses (Messwert) in einem begrenzten Raumzeit-Körper hat. (Noch exakter ist der "Raumzeit-Körper" natürlich kein hart umgrenztes Gebilde, sonder ein durch die Eigenschaften des Messprozesses definierter Operator, den wir natürlich so anlegen dass er idealer Weise ein Art begrenzten Raumzeit-Körper definiert, in dem das Integral über die Wahrscheinlichkeits-Dichte (ermittelt nach Anwendung des Mess-Operators) einen positiven Wert hat.

Vermutlich sieht die Lösung irgendwie so aus, dass nach der Anwendung des Mess-Operators (als Funktion auf der Raumzeit) sich tatsächlich wieder eine Wellenfunktion und damit wieder eine Wahrscheinlichkeits-Funktion ergibt und man somit die Wahrscheinlichkleits-Dichte nicht braucht, da diese nur hilfreich wäre wenn der Mess-Operator äquivalent zum Ausschneiden eines Körpers aus der Raumzeit wäre, über den ich die "klassische" Dichte integrieren könnte. Und das ist vermutlich als quantenmechanisches Experiment keine sinnvolle Annahme.

Vielen Dank für die Denkanstöße !

-Michael

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