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THEMA: Die Feinstrukturkonstante

Die Feinstrukturkonstante 25 Mär 2016 17:13 #4448

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Spacerat hat im Thema 'Unendlichkeit des Universums ?' auf die geometrische Ableitung der Feinstrukturkonstante hingewiesen.
"Ein gewisser Hans de Vries hat mit einem solchen Algorhitmus z.B. auch die Feinstrukturkonstante aus den mathematischen Konstanten PI und Euler hergeleitet.
www.chip-architect.com/news/2004_10_04_T...upling_constant.html "
Vielen Dank dafür.
Weil das nicht ganz zum Thema passt und die Feinstrukturkonstante eine besondere Bedeutung hat, möchte ich diese Ableitung in einem eigenen Thread nochmals aufgreifen.

Ich finde diesen Beitrag faszinierend. Daher habe ich mich an der geometrischen Deutung des Ausdrucks e^(-PI^2/2) versucht.

Man stelle sich eine Quell-/Senkenströmung aus einem Kreis mit dem Radius R vor. Dabei mache ich folgende Annahmen:
- die Stärke der Strömung entspricht der Kreisfläche
- die Strömung nimmt nach aussen hin mit 1/r^2 ab (r= Radius)
- die Änderung der Quell-/Senkenenergie entspricht der Quell-/Senkenenergie selbst. Das wird mit einer e-Funktion erreicht.

Damit ist die Geschwindigkeit v = PI * R^2 / r^2
Die Energie ist v^2 / 2
und der Energieverlauf e^(-v^2/2)

So ergibt sich für r = R der Ausdruck e^(-PI^2/2)

Die Gamma-Korrektur habe ich nicht betrachtet. Ich vermute, daß sie sich ergibt, wenn man zwei wechselwirkende Quell-/Senken berechnet.

Was haltet ihr davon ?

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Die Feinstrukturkonstante 25 Mär 2016 17:54 #4456

Das Problem ist, dass ohne diese Gamma-Korrektur der Wert eben nicht der Feinstrukturkonstante entspricht.

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Die Feinstrukturkonstante 25 Mär 2016 18:12 #4457

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Wow... wenn ich wüsste was Quell- und Senkenströme sind, würde ich sagen Treffer versenkt.

Ich selbst konnte aber leider keinen Zusammenhang finden, wie Herr de Vries auf seinen Algo gekommen ist, wohl aber dass e^(-(PI^2)/2) konstant ...

Moment mal... e^(-PI...? Ach herrje, tatsächlich. Da muss ich für mein Programm wohl noch mal ans Reisbrett. Ich habe nämlich dummerweise die ganze Zeit mit e^((PI^2)/2) gerechnet, was konstant 139,04563666064865 ergibt, womit man bei Startwerten im Bereich zwischen -47,6169690897046 und 11,504735273147535 ebenfalls auf die Feinstrukturkonstante kommt (alle Werte in IEEE-754-Double).
e^(-(PI^2)/2) ist konstant 0,00719188335582637 also der Kehrwert von 139,045... (irgendwie logisch ;) ). Ob die Grenzwerte wohl auch etwa nur die Kehrwerte von -47,616... und 11,504... sind?

Ok... Entwarnung (püh..) Wenn man mit e^((PI^2)/2) rechnet, muss im Kettenbruch ja bloß multipliziert, statt dividiert werden... Naja, die Implementation dieses Algos liegt schon länger zurück und so habe ich diesen Umstand halt vergessen. :oops:

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Die Feinstrukturkonstante 25 Mär 2016 18:32 #4458

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ClausS schrieb: Das Problem ist, dass ohne diese Gamma-Korrektur der Wert eben nicht der Feinstrukturkonstante entspricht.

Aber fast. Und die Gamma-Korrektur ist nur von diesem Ausdruck abhängig, d.h. es ist nur eine Iteration notwendig. Es gibt keine zusätzlich neuen Gesichtspunkte.

Ganz exakt ist es natürlich nicht. Mich würde interessieren, wie wer auf diese seltsame Gamma-Korrektur gekommen ist.

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Die Feinstrukturkonstante 25 Mär 2016 18:52 #4462

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Ich bin in Mathe nicht mehr fit genug, um übethaupt beurteilen zu können, ob man diese substituierte Gamma-Funktion nicht auch auflösen könnte. Falls das geht, wären die Zusammenhänge vielleicht besser erkennbar.

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 02:50 #4488

Ich versteh das nicht so ganz. Wird da Gamma aus Alpha und Alpha aus Gamma berechnet?
Ist das ein Zirkelschluss oder soll das eine Iteration sein die nur nicht deutlich als solche gekennzeichnet ist?

Also wenn man tatsächlich eine physikalische Konstante mit rein Mathematischen Mitteln berechnen könnte wäre das bemerkenswert.
Das würde ja auf einen Zusammenhang hinweisen der so noch nicht bekannt ist. Oder seh ich da was falsch?

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 09:21 #4495

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Merilix schrieb: Ist das ein Zirkelschluss oder soll das eine Iteration sein die nur nicht deutlich als solche gekennzeichnet ist?


Beides: Ein Zirkelschluss, der bei Iteration eine schnelle Konvergenz zeigt.

Merilix schrieb: Also wenn man tatsächlich eine physikalische Konstante mit rein Mathematischen Mitteln berechnen könnte wäre das bemerkenswert.


Auch ich habe das genau so verstanden. Man müsste den Zirkelschluss noch nach Alpha auflösen. Das müsste doch gehen, oder?


Merilix schrieb: Das würde ja auf einen Zusammenhang hinweisen der so noch nicht bekannt ist.


Nach Alpha aufgelöst könnte man diesen "Zusammenhang" bestimmt besser erkennen.

Edit/PS: Vielleicht ist ja auch schon so, also ohne Auflösung nach Alpha schon was erkennbar. Ich finde meinen Bronstein nicht auf dem Dachboden. Kommt jemandem diese Reihe bekannt vor? Falls ja woher?



BTW: Mit diesem Tipp von spacerat erzeugt aus:

\Gamma = 1 + \alpha \left( 1 + \frac{ \alpha }{ 2 \PI } \left( 1 + \frac{ \alpha }{ (2 \PI)^{ 2 } } \left( 1 + \frac{ \alpha }{ (2 \PI)^{ 3 } } \cdots \right) \right) \right)


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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 16:41 #4513

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Torsten C schrieb: Auch ich habe das genau so verstanden. Man müsste den Zirkelschluss noch nach Alpha auflösen. Das müsste doch gehen, oder?

Soweit ich weiß, geht dies gerade bei einer Gamma-Funktion nicht, weil der Startwert der Funktion mit jedem Rekursionsschritt verändert an einen weiteren Aufruf der Funktion übergeben wird. Es handelt sich also stets um eine Endlosrekursion, die als einzigen Abbruchparameter die Anzahl der geforderten Nachkommastellen kennt. Bei der Berechnung von PI und Euler existieren genau die selben Probleme.

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 20:04 #4525

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Wenn ich die Standardunsicherheiten von CODATA-Werten richtig verstanden habe, liegt die Feinstrukturkonstante irgendwo zwischen
7,2973525681 · 10⁻³ und
7,2973525647 · 10⁻³

Der entwickelte Wert liegt also innerhalb der Standardabweichung. :)

Was müsste man nun tun, um das Committee on Data for Science and Technology davon zu überzeugen, diesen entwickelten Wert zu übernehmen? Damit könnte man dann wiederum die Genauigkeit der Elementarladung, des Planckschen Wirkungsquantums oder die der elektrischen Feldkonstante verbessern.

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 20:25 #4527

Torsten C schrieb: Was müsste man nun tun, um das Committee on Data for Science and Technology davon zu überzeugen, diesen entwickelten Wert zu übernehmen? Damit könnte man dann wiederum die Genauigkeit der Elementarladung, des Planckschen Wirkungsquantums oder die der elektrischen Feldkonstante verbessern.


Gar nichts. Solange es keine theoretische Herleitung gibt, muss man von einer zufälligen Koinzidenz ausgehen. Daher hilft nichts, als zu warten bis die Feinstrukturkonstante auf 2-3 Stellen mehr Genauigkeit gemessen werden kann. Ob die beiden Werte dann immer noch (im Rahmen der Messgenauigkeit) gleich sind, bin ich sehr neugierig.

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 20:35 #4528

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Hallo Torsten
Wie ClausS schon schrieb, kann man da leider gar nichts machen, außer längere Zeit beobachten, ob immer genauer werdende Ergebnisse von Experimenten auch weiterhin mit der berechneten Reihe übereinstimmen...

Oder man findet einen plausiblen (und damit überzeugenden) Zusammenhang mit einem Naturphänomen, so wie es Dick bereits getan (bzw. versucht) hat.

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 21:59 #4530

Also 8-9 Digits Übereinstimmung scheint mir schon mehr als zufällige Koinzidenz.
@Torsten ich hatte auch mehr einen physikalischen Zusammenhang bei den Größen die mit Alpha in Beziehung stehen im Sinn, keinen mathematischen.
Ist es vielleicht sogar ein Merkmal von dimensionslosen Konstanten rein mathematischer Natur zu sein und gar nix physikalisches zu definieren? so wie Pi?

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 22:01 #4531

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ClausS schrieb: Daher hilft nichts, als zu warten bis die Feinstrukturkonstante auf 2-3 Stellen mehr Genauigkeit gemessen werden kann.


Einspruch: Die Situtation ist dann die gleiche, nur ein paar Stellen weiter hinter dem Komma.

Dick schrieb: Daher habe ich mich an der geometrischen Deutung des Ausdrucks e^(-PI^2/2) versucht. …
Die Gamma-Korrektur habe ich nicht betrachtet.


Diese Deutung habe ich noch nicht verstanden, vielleicht schaffe ich das gelegentlich mit einer Skizze.
Jedoch ohne eine Erklärung für die Gamma-Korrektur ist das auch nur die halbe Miete.

Spacerat schrieb:

Torsten C schrieb: Man müsste den Zirkelschluss noch nach Alpha auflösen. Das müsste doch gehen, oder?

Soweit ich weiß, geht dies gerade bei einer Gamma-Funktion nicht …


Was isch damit sagen wollte: Vielleicht kann man die Reihe irgendwie so darstellen, dass man den gesuchten physikalischen/geometrischen Zusammenhang leichter mit der Natur in Verbindung bringen kann, also so wie
z.B. bei

Edit/PS: Aber da fehlt mir wieder der Bronstein.

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 22:14 #4532

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Hallo Merilix
Das erklär mal dem CODATA-Team.

Also bei allen Herleitungen mathematischer Konstanten, die mir bisher unter gekommen sind, macht nur eine Sinn und zwar die von PI. Im Prinzip werden da immer kleiner werdende Schnitte von Wurzel 2 addiert bzw. gemäß einer Taylorschen reihe abwechselnd addiert und subtrahiert - als wenn man Kreise im immer kleinere Quadrate unterteilt und überstehende Kanten dabei abschneidet.
Euler und der ganze Rest sind auch nur solche "Zahlenspielereien" wie die von Herrn de Vries - ohne jedweden Bezug zur Physik. Aber diese werden in der Physik trotzdem verwendet. PI z.B. bei der magnetischen Feldkonstante und Euler bei der Ladekurve von Kondensatoren (E-Technik). Ich sehe deswegen auch keinen Grund, warum man die FSK nicht per "Zahlenspiel" definieren sollte. Mathematik ist schließlich die Sprache der Natur und sie will uns darüber etwas mitteilen. ;)

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 22:15 #4533

@Torsten C
Also ich hab mal mit deiner ersten Formel oben (also die ohne Gamma) iteriert und kam nach 8 Iterationen auf eine Abweichung von 5,57509767518116E-13 zu Alpha wie bei CODATA angegeben. Dabei hab ich nur bis 2pi^4 gerechnet und den folgenden Faktor einfach als 1 angenommen.... Na wenn das nicht genau ist dann weis ich auch nicht. Was das aber physikalisch bedeutet.....keine Ahnung

Nachtrag @spacerat
Ich habe auch nicht behauptet das math. konstanten nicht in der Physik verwendet werden dürfen, sie beschreiben nur keinen physikalischen Zusammenhang sondern einen mathematischen.... Ich gebe aber zu das ist Interpretationssache wie man das versteht.

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 22:52 #4535

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Merilix schrieb: Ich habe auch nicht behauptet das math. konstanten nicht in der Physik verwendet werden dürfen...

Stimmt, hast du nicht. Vllt. sollte ich an meiner Ausdrucksweise arbeiten...
Ich habe auch nicht gesagt, dass sie nicht verwendet werden dürfen, sondern eher, dass an anderen Stellen auch mathematische Konstanten ohne Bezug zu ihr in der Physik verwendet werden, nur halt bei der FSK (evtl. auch noch an anderen Stellen) macht man eine Ausnahme. Stell dir mal vor, CODATA würden die Kreiszahl nur über Messungen an evtl. immer gößer werdenden Kreisen festlegen - dann herzlichen Glückwunsch CODATA. Selbiges würde dann also auch für die FSK gelten. Ein Zahlenwert, der durch irgendwelche (sinnvolle!) Zahlenspielchen zu Stande kommt.
Wenn man dies streng durchziehen würde, müsste man nur noch ein Zahlenspiel für die Elementarladung oder das plancksche Wirkungsquantum finden, denn diese bekämen - wenn man die Lichtgeschwindigkeit als Maßstab setzt - auch ein festes Verhältnis:

oder

Evtl. ist die Messung der Elementarladung aus unerfindlichen Gründen ja auch höchst ungenau und sollte eigentlich den Wert der Erdős-Borwein-Konstante mal 10^-19 C (Coulomb) sein, wer weiß.
Evtl. ist ja auch der Maßstab Lichtgeschwindigkeit im Vakuum falsch und hat tatsächlich einen Wert von PI*10^8 m/s... Das ist jetzt aber nur alles philosophisch und keineswegs eine ernstzunehmende Theorie.

Was aber keine Theorie sondern bitterer Ernst ist... wieso taucht in der Berechnung der FSK die coulombsche Kraftkonstante auf?

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 23:05 #4536

Naja, wie ich an anderer Stelle schon darlegte: ein paar echte Naturkonstanten brauchen wir noch um SI-Einheiten definieren zu können. Sonst müssten wir uns wieder hinsetzen und ein Kg oder ein Meter zurechtfeilen ;)

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Die Feinstrukturkonstante 26 Mär 2016 23:32 #4538

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Merilix schrieb: Naja, wie ich an anderer Stelle schon darlegte: ein paar echte Naturkonstanten brauchen wir noch um SI-Einheiten definieren zu können.

Nichts dagegen. Siehe magnetische Feldkonstante - ein herrliches Beispiel für "Zahlenspielerei" (eine einfache Multiplikation von PI mit 4e-7) mit einer Einheit (Newton pro Quadratampere).

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Die Feinstrukturkonstante 27 Mär 2016 00:20 #4540

Spacerat schrieb:

Merilix schrieb: Naja, wie ich an anderer Stelle schon darlegte: ein paar echte Naturkonstanten brauchen wir noch um SI-Einheiten definieren zu können.

Nichts dagegen. Siehe magnetische Feldkonstante - ein herrliches Beispiel für "Zahlenspielerei" (eine einfache Multiplikation von PI mit 4e-7) mit einer Einheit (Newton pro Quadratampere).

Mit der Elektrischen Feldkonstante und c stecken noch zwei unabhängige Naturkonstanten drin. c wurde schon festgenagelt und hier sind es entweder die elektrische ODER die magnetische Feldkonstante. Damit wird die jeweils andere automatisch exakt berechenbar. Zumindest ist es keine rein mathematische Spielerei.
Was halt bei den für SI-Einheiten verwendeten Naturkonstanten wichtig ist: sie müssen mit großer Genauigkeit messbar sein.

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Die Feinstrukturkonstante 27 Mär 2016 00:45 #4543

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Merilix schrieb: Zumindest ist es keine rein mathematische Spielerei.

Also...
Die magnetische Feldkonstante ist über eine mathematische Konstante mit einem Faktor wohldefiniert und in der Physik passt das zufällig? Sicher nicht. Warum also sollte es bei der FSK anders sein? Passt doch auch (nur) zufällig. Aber was erzähle ich dir das? Das sollte eigentlich die Herren bei CODATA überzeugen und nicht dich. ;)
Die Lichtgeschwindigkeit ist sozusagen ein Maßstab, welcher sich über die Definition einer Strecke zu einer Zeitspanne definiert. Wenn man diese beiden anders definieren würde, bekäme man auch eine andere Lichtgeschwindigkeit.
Das bedeutet, dass die LG mit den Definitionen des Urmeters und der Ursekunde gemessen und später auf exakt diesen Wert festgetackert wurde. Ändert man ihn, warum auch immer, würde dies nicht nur die SI-Einheiten Strecke und Sekunde beeinflussen, sondern eine ganze Menge andere auch, z.B. die elektrische Feldkonstante und und und.

Und ähm... findest du, dass eine Genauigkeit von nur 4 Digits eine hohe Genauigkeit ist? Ich jedenfalls nicht. ;)

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Die Feinstrukturkonstante 27 Mär 2016 01:16 #4545

Worüber sprichst du?
Die magnetische ist mit der elektrischen Feldkonstante über verknüpft.
Die magnetische ist mit 11 Digits, die elektrische mit 10 Digits und c noch mit 9 Digits angegeben. Da kommen also nicht nur mathematische Konstanten vor.
Über die Definition der Sekunde als (genau zählbare) Meßgröße am Cäsiumatom und c wird das Meter definiert. Das kann also genau vermessen werden um damit arbeiten zu können.
...
Ich sehe gerade das sich da noch einiges ändern wird, die beiden Feldkonstanten will man wohl in Zukunft wieder entnageln und von der Definition des Ampere aus der Elementarladung ableiten...und wie das mit der Definition des kg über h zusammengehen soll ohne Doppeldefinition ist mir noch nicht ganz klar...
Du siehst, Einheitendefinition ist kein einfaches Unterfangen. Auf jeden Fall benötigt man pro unabhängige Einheit auch eine unabhängige Naturkonstante als Umrechnungsfaktor. Anderenfalls wird die Definition willkürlich wie früher das m und z.Z. noch das Kg. Soviel sollte klar sein ;)

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Die Feinstrukturkonstante 27 Mär 2016 03:06 #4547

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Merilix schrieb: Worüber sprichst du?

Von der ungenauesten Naturkonstante, die es gibt - der Gravitationskonstante natürlich.

Dass elektrische- und magnetische Feldkonstante sowie die Lichtgeschwindigkeit auf beliebig viele Nachkommastellen (sofern vorhanden) exakt festgelegt sind, setze ich mal vorraus. Die haben keine Digits, die in irgendeiner Form etwa genau sein könnten, sondern die sind genau.

btw. definiert sich eher die elektrische Feldkonstante über und μ0 über 4π*10-7. Somit ist c der Maßstab für die elektrische Feldkonstante.

Woher hast du denn dass mit dem "entnageln"? Nicht dass ich es nicht glaube, denn es kann durchaus sein. Verlink mal eine Quelle, vllt. kann ich ja etwas damit anfangen, zumindest das, was kg über h angeht.
Kennst du die Konstante, die für die Definition des Ampere herangezogen wird? 2*10-7. Die coulombsche Konstante ist , hergeleitet über - dem coulombschen Gesetz mit e=1 (Elementarladung) und r=1 (Abstand). Die coulombsche Konstante kann aber ebensogut mit dargestellt werden, das geht aus den Beziehungen zwischen LG, magnetischer- und elektrischer Feldkonstante hervor und 10-7 ist nicht nur rein zufällig die Hälfte der Konstante, welche bei der Definition des Ampere verwendet wird.
Wie dem auch sei. Diese ganzen hypergenauen Naturkonstanten hängen alle irgendwie auf wunderbare Weise zusammen - auch mit der FSK. Unvorstellbar, dass die Gravitationskonstante da eine Ausnahme bilden soll. Solange, wie es erfordelich ist, habe ich aber nichts gegen Naturkonstanten, wenn sie einen sinnvollen Maßstab definieren, wie z.B. die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

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Die Feinstrukturkonstante 27 Mär 2016 22:56 #4577

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Dick schrieb: "Ein gewisser Hans de Vries hat mit einem solchen Algorhitmus z.B. auch die Feinstrukturkonstante aus den mathematischen Konstanten PI und Euler hergeleitet."

Hmmm, offenbar haben sich daran schon mehrere irgendwie versucht. Chronologisch sortiert: Findet Ihr noch weitere? Mir gefällt die Version von Hans de Vries zwar gut, aber Gilson hat mehr Bilder und Quellenangaben. Zugegeben: Ich habe diese Paper noch nicht wirklich gelesen. Vielleicht gibt es ja noch was neueres, besseres? Dann sollte man sich lieber damit beschäftigen.

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Die Feinstrukturkonstante 28 Mär 2016 01:55 #4584

Spacerat schrieb: Woher hast du denn dass mit dem "entnageln"? Nicht dass ich es nicht glaube, denn es kann durchaus sein. Verlink mal eine Quelle, vllt. kann ich ja etwas damit anfangen, zumindest das, was kg über h angeht.
Kennst du die Konstante, die für die Definition des Ampere herangezogen wird? 2*10-7

Ja, das Ampere wird unter anderem von der Elementarladung e = 1.602 176 487 186 ×10–19 C abgeleitet werden.
Quelle: Wiki//Internationales_Einheitensystem diente als Hinweisgeber und weitere Recherche brachte mich zu bipm und die dort verlinkten Drafts. (nur um sicherzugehen das Wiki keinen Mist erzählt)

Mit Doppeldefinition meinte ich gesehen zu haben das eine Einheit aus zwei Richtungen definiert würde... Ist natürlich quatsch weil man das Gesamtpaket der für 2018 geplanten Neudefinitionen sehen muss.

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Die Feinstrukturkonstante 28 Mär 2016 18:12 #4637

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Merilix schrieb: Ja, das Ampere wird unter anderem von der Elementarladung e = 1.602 176 487 186 ×10–19 C abgeleitet werden.
Quelle: Wiki//Internationales_Einheitensystem diente als Hinweisgeber

Also bei Wikipedia finde ich keinen einzigen Hinweis darauf, wie die Stromstärke über die Elementarladung abgeleitet wird, nur immer auf dieses hier .
Das einzige, was vorstellbar wäre, wäre die Herleitung über die Einheit Coulomb (wie es dort auch schon angedeutet wird), über welche man zum Coulombschen Gesetz und darüber erst an die Elementarladung kommt.
Da gäbe es aber eine geringfügige Hürde ... Ein Coulomb muss nicht zwangsläufig ein Vielfaches der Elementarladung sein. Wieviele Elementarladungen (Coulomb) durch welche Zeit sollen denn genau 1 Ampere sein und warum? Naja, mal abwarten, was da kommt.

@Torsten:
Der Witz bei Hans de Vries scheint ja gerade zu sein, dass bei seiner Herleitung oder Ableitung der FSK keinerlei physikalische Grundlage, sondern ausschließlich mathematische Konstanten zugrunde liegen, deswegen gibt es bei Herrn de Vries wohl auch keine Bilder. Bei vielen anderen mathematischen Konstanten, die in der Physik verwendet werden - mir persönlich fallen da nur PI und Euler auf Anhieb ein - ist es aber nunmal nicht anders. Was besseres wird es wohl kaum geben. Man muss sich allerdings fragen (bzw. müsste man dies das CODATA-Team fragen) warum für die FSK ein physikalischer Hintergrund von Nöten ist, während PI und Euler einfach so hingenommen werden.

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Die Feinstrukturkonstante 29 Mär 2016 05:25 #4679

Spacerat schrieb:

Merilix schrieb: Ja, das Ampere wird unter anderem von der Elementarladung e = 1.602 176 487 186 ×10–19 C abgeleitet werden.
Quelle: Wiki//Internationales_Einheitensystem diente als Hinweisgeber

Also bei Wikipedia finde ich keinen einzigen Hinweis darauf, wie die Stromstärke über die Elementarladung abgeleitet wird, nur immer auf dieses hier .

Naja, du hättes ja auch mal den auf "Aktuelle Definition" folgenden Abschnitt lesen können ;)

Hier ist der Wikilink Internationales_Einheitensystem#Zukünftige Entwicklungen ,
hier nocheinmal der Link zum BIPM und
hier der Link zu einem der dort verlinkten Dokumente DRAFT 9th edition of the SI Brochure (12/2015)



Und hier ein schönes Bild aus dem Wiki:

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