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THEMA: Schwarzschildradius

Schwarzschildradius 16 Apr 2019 23:36 #51043

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Ich habe das Foto des schwarzen Loches in M87 zum Anlass genommen die Orginalpublikation von Karl Schwarzschild aus dem Jahre 1916 zu lesen und bin entsetzt.
Dort ist das Linienelement (Formel 14) angegeben, das man überall finden kann, aber mit einem wesentlichen Zusatz, nämlich dem Zusammenhang der Koordinate R mit dem Radius der Kugelkoordinaten r:

ds² = (1-a/R) dt² - 1/(1-a/R) dR² - R²(dθ² +sin²θ dφ²) , R³ =r³ +a³

Die Metrik divergiert bei R=a, also bei r=0!
Das heißt doch, dass der Durchmesser des "Ereignishorizontes" gleich Null ist, oder sehe ich das falsch?

Link zu Schwarzschilds Arbeit:
Publikation von Karl Schwarzschild

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Schwarzschildradius 17 Apr 2019 21:37 #51078

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Nachtrag:

Ich denke, dass Schwarzschild mit seiner Ansicht, dass die Metrik nur dort unstetig sein kann, wo auch die Massenverteilung unstetig ist, Recht hatte.
Schließlich muss die Metrik Differentialgleichungen erfüllen, wie sollen da mitten im Vakuum Unstetigkeiten entstehen. Aber das heißt, dass die
Metrik tatsächlich erst an der Massen-Singularität divergiert und der Ereignishorizont tatsächlich Durchmesser Null hat.

Wenn es aber gar keine ausgedehnten schwarzen Löcher gibt, was wurde dann von M87 aufgenommen, ein Gravastern?

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 14:56 #51126

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Nachtrg 2:
Das Thema scheint ja nicht gerade beliebt zu sein; und wenn man bedenkt, dass das Problem des Massenpunktes in den letzten 100 Jahren wahrscheinlich eine Million mal "gelöst" wurde, sind meine Anmerkungen ja auch ziemlich unglaublich.

Deshalb will ich versuchen den entscheidenden Punkt klarer dazustellen:

1. Bei der Lösung der Feldgleichungen geht man im Allgemeinen von Polarkoordinaten (r, θ, φ) aus.
2. Bei der weiteren Rechnung wird eine neue Radialkoordinate R eingeführt.
3. Das Ergebnis ist das Linienelement in Abhängigkeit von (R, θ, φ).
4. Schwarzschild gibt für den Zusammenhang zwischen R und r die Formel R³=r³+a³ an, wobei a den Wert des sogenannten Schwarzschildradius hat.
5. Andere Autoren behaupten keineswegs etwas anderes. Das Problem ist, dass sie sich über den Zusammenhang zwischen R und r überhaupt nicht äußern.
Die Metrik wird dann aber so interpretiert als wäre R=r, wobei die Annahme, dass R=r ist, noch nicht mal ansatzweise begründet wird.
Dadurch entstehen falsche Vorstellungen davon, wo im Raum sich der Ereignishorizont befindet.
6. Nach den Formeln des Herrn Schwarzschild liegt der Horizont bei (R=a, r=0), also am Ort des Massenpunktes.


Ich hoffe das ist jetzt einigermaßen verständlich.

Nichtsdesotrotz ist der Umfang 2πa und die Oberfläche πa², der Durchmesser und das Volumen sind aber identisch Null.

Insofern kann es vielleicht schon sein, dass der Massenpunkt als ausgedehntes Objekt erscheint. Wenn man deshalb den Punkt als
eine Kugel mit Radius a darstellt, muss man aber sagen, dass die Oberfläche der Kugel einen Rand der Raumzeit darstellt, und
das innere der Kugel nicht zum Universum gehört, genauso wie das Loch eines Donuts kein Bestandteil des Donuts ist.
In diesem Fall müsste man auch sagen, dass sich die Masse an der Oberfläche der Kugel befindet, denn
es kann einfach nicht sein, dass Divergenzen der Metrik und Divergenzen der Massedichte räumlich getrennt sind!

So, und jetzt kommt wirklich was verrücktes:

Wenn das "Schwarze Loch" Durchmesser Null hat, müsste es eigentlich als Wellenfunktion dargestellt werden. In Polarkoordinaten
ergäbe sich eine Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen. Die einzige Kugelflächenfunktion die wirklich kugelsymmetrisch ist, ist Y0.
Diese repräsentiert aber Bahndrehimpuls Null. Das heißt, ein "schwarzes Loch" müsste ein fettes "Spin-0-Teilchen" sein.
Wenn aggregierte Materie Teil des Spin-0-Objekts werden will, muss sie irgendwie Drehimpuls abgeben, wodurch sich gigantische Jets bilden, die den
Drehimpuls davon tragen. Lustig, gell ;-)

PS: Ich muss nicht unbedingt Monologe führen. Kommentare sind erwünscht!

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 15:11 #51127

bro schrieb: PS: Ich muss nicht unbedingt Monologe führen. Kommentare sind erwünscht!

Das Thema wurde schon zu oft durchgekaut, das Volumen haben wir z.B. erst vor zwei Wochen durchgerechnet.

Die Suchfunktion empfehlend,

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 16:06 #51129

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Danke für die Antwort.

Aber Du hast vermutlich das wesentliche meiner Anmerkungen überlesen.
Ich rede hier von der Schwazschildlösung für einen Massenpunkt. Und davon, dass das Volumen innerhalb des Ereignishorizonts gleich 0 ist.
Hast Du das wirklich vor zwei Wochen ausgerechnet?

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 16:47 #51130

bro schrieb: Ich rede hier von der Schwazschildlösung für einen Massenpunkt. Und davon, dass das Volumen innerhalb des Ereignishorizonts gleich 0 ist. Hast Du das wirklich vor zwei Wochen ausgerechnet?

Nein, in meiner Rechnung gehe ich von sinnvollen Annahmen aus. Du hingegen extrapolierst die Außenlösung in den Innenbereich, was natürlich nicht zulässig ist.

Dagegen,

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 17:15 #51132

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Es ist mir durchaus bewusst, dass das ,was sich sagen will nicht so ohne weiteres zu verstehen ist.

Es ist nicht so, dass ich etwas extrapoliere. Sondern in der Theorie werden generell verschiedene Radialkoordinaten verwendet.
Die Frage ist also, welche Koordinate, was bedeutet, und wie ihr Zusammenhang ist. Von Schwarzschild höchst persönlich
stammt die Formel:

R³ =r³ +a³,

wobei a der Schwarzschildradius, und r der bei Kugelkoordinaten übliche Radius ist.
Die Metrik hängt aber von R ab:

ds² = (1-a/R) dt² - 1/(1-a/R) dR² - R²(dθ² +sin²θ dφ²)

diese Metrik divergiert bei R=a, Wenn R=a ist, dann ist aber r=0, d.h. die Metrik divergiert genau dort wo der Massenpunkt sitzt.

Das Problem ist, dass die meisten Leute so tun als wäre R=r, wodurch der Eindruck entsteht, dass sich zwischen Massenpunkt und Ereignishorizont
Raum befindet. Das ist aber einfach eine Fehlinterpretation, weil R eben nicht gleich r ist. Das wusste schon Schwarzschild! (siehe Link im ersten Post, Formel 14)!

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 00:00 #51149

bro schrieb: Sondern in der Theorie werden generell verschiedene Radialkoordinaten verwendet.

Da scheinst du wohl was zu verwechseln.

bro schrieb: Die Frage ist also, welche Koordinate, was bedeutet, und wie ihr Zusammenhang ist.

Was welche Koordinate bedeutet ergibt sich aus dem metrischen Tensor.

bro schrieb: Von Schwarzschild höchst persönlich stammt die Formel: R³ =r³+a³

R wird in dem von dir verlinkten Artikel als Hilfsgröße bezeichnet, das ist in dem Fall nicht der physikalische Radius.

bro schrieb: Das Problem ist, dass die meisten Leute so tun als wäre R=r

Ich habe noch niemanden gesehen der so getan hätte. Außerdem muss man bedenken dass die Variablenbelegung nicht in allen Artikeln gleich ist, heutzutage wird R meistens nicht für irgendeine Hilfsgröße sondern je nach Kontext entweder als Bezeichnung für den aufintegrierten physikalischen oder manchmal auch den kartesischen Radius verwendet.

Noch einmal auf den anderen Faden verweisend,

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 00:32 #51151

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In gewisser Weise hast schon recht. Das eigenartige ist nur, dass die Metrik bei allen Autoren die gleiche Form hat:

ds² = (1-a/R) dt² - 1/(1-a/R) dR² - R²(dθ² +sin²θ dφ²)

Bei den meisten Autoren ist dann das "R" im Linienelement der Radius der Kugelkoordinaten.
Bei Schwarzschild ist "R" aber eine Hilfsgröße. Wenn Schwarzschild das gleiche meinte wie allen anderen,
aber mit einer "Hilfsgröße" arbeitet ,müsste doch sein Linienelement eine andere Form haben, so dass erst durch
eine Koordinatentransformation die übliche Form entsteht.

im übrigen führen auch andere Leute Hilfsgrößen ein: z.B. r′ =√g22(R,cT), hier ist R der Kugelkoordinaten-Radius,
und im fertigen Linienelement kommt dann r vor, aber über den Zusammenhang mit R wird nichts gesagt.
( Skriptum_siehe-seite_107 )

Das läuft dann darauf hinaus, dass r als R interpretiert wird.

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 01:13 #51152

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Bevor ich des Rufmordes beschuldigt werde, möchte darauf hinweisen, dass es im oben zitiertem Skriptum heißt:

insbesondere r,t haben keine unmittelbare physikalische Bedeutung

schön, die Frage die sich da aber stellt, ist,welchen Wert r an der Stelle hat, an der sich die Singularität befindet?
Etwa Null? Bei dem im Skriptum gewählten Notationen, hätte Schwarzschild gesagt :Singularität ist dort wo r = 2GM/c²
und r kann niemals kleiner sein als 2GM/c², denn r = 2GM/c² steht für den Ursprung des Koordinatensystems, und bedeutet
soviel wie R=0, was er durch die Gleichung r³ = R³ + a³ ausgedrückt (leider sind die Rezeichungen R, r im Skript und bei Schwarzschild gerade vertauscht).

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 01:38 #51153

Verwechselst du vieleicht die Koordinatensingularität am Schwarzschildradius mit der vermuteten echten Singularität im Masseschwerpunkt?

Irgendwie hab ich noch nicht verstanden worau du eigentlich hinaus willst.


PS: ich schreibe "vermutet" weil noch niemand dort war, zurückgekehrt ist und berichten kann ob dort wirklich die Masse in einem Punkt konzentriert ist. So gesehen endet die empirische Wissenschaft am rs.

assume good faith

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 01:56 #51155

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naja, es wird immer davon ausgegangen dass sich im Koordinatenursprung eine Singularität befindet.

Bei der Ableitungen des Linienelements werden dann irgendwelche formalen Koordinatentransformationen gemacht, so dass sich am Ende die Frage stellt,
welches Koordinaten-Tuple für den Koordinatenursprung steht, an dem sich die Singularität befindet. Wenn irgendeine Radialkoordinate vorkommt,
die wir mal als RRRRRR bezeichenen wollen vorkommt, nimmt man gerne an, dass die Singularität bei RRRRRR=0 ist. Aber so
einfach ist das nicht. Die Radialkoordinate im Linienelement hat von vornherein nur den Wertbereich (Schwarzschildradius - unendlich),
und kann gar nicht Null sein, und das sagt Schwazschild ganz deutlich. Er sagt auch explizit, dass die Integrationskonstanten so gewählt werden
müssen, dass die Unstetigkeit der Metrik an der Massen-Singularität liegt. Bei Schwarzschild liegen somit Singularität und Ereignishorizont an der
selben Stelle im Raum. Das ist keine Verwechslung von mir.

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 08:45 #51163

Yukterez sprach von Extrapolation auf das Innere des SL und ich habe den Begriff "Koordinatensingularität" genannt.
In Schwarzschildkoordinaten ist der Rs eine solche. So wie ich das verstehe gibt es einfach keine Transformation (=Projektion?) die das was sich Innerhalb des rs abspielt in unser gewohntes euklidisches Koordinatensystem abbilden kann.


PS:
Liegt der Polarstern nördlicher als der Nordpol?
.
.
.
Oder wird seine Position in üblichen Karten nur auf den Nordpol projiziert obwohl er dort an diesem Ort garnicht ist?

assume good faith

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assume good faith

Schwarzschildradius 20 Apr 2019 12:46 #51168

bro schrieb: im übrigen führen auch andere Leute Hilfsgrößen ein: z.B. r′ =√g22(R,cT), hier ist R der Kugelkoordinaten-Radius

Das ist die ganz normale Wurzel des metrischen Koeffizienten, das ist von allem noch am wenigsten eine Hilfsgröße da man damit direkt den Koordinatenabstand auf den physikalischen Abstand integrieren kann.

bro schrieb: schön, die Frage die sich da aber stellt, ist,welchen Wert r an der Stelle hat, an der sich die Singularität befindet? Etwa Null?

Selbstverständlich 0. Dass das bei r=2GM/c² nur eine Koordinatensingularität ist wurde kurze Zeit nach dem Schwarzschild sein Paper veröffentlicht hat von Eddington, Finkelstein, Gullstrand, Painlevé und vielen anderen gezeigt. Man merkt es aber auch schon daran dass sich die Weltlinie eines Partikels auch in ganz normalen Schwarzschildkoordinaten bis r=0 plotten lässt wenn man nach der Eigenzeit (oder im Fall von Photonen nach deren affinem Parameter) differenziert, da sich die koordinatenzeitinduzierte Unendlichkeit in den Bewegungsgleichungen dann wieder rauskürzt.

Merilix schrieb: So wie ich das verstehe gibt es einfach keine Transformation (=Projektion?) die das was sich Innerhalb des rs abspielt in unser gewohntes euklidisches Koordinatensystem abbilden kann.

Es gibt genug horizontüberschreitende Koordinaten (Raindrop, Finkelstein etc), und in den externen Bezugssystemen wo am Horizont eine Koordinatensingularität auftritt bleibt der kollabierende Stern aufgrund der Zeitdilatation sowieso immer ein bisschen größer als sein Schwarzschildradius, weswegen aus diesem Bezugssystem heraus beschrieben für das Innere auch die innere und nicht die Vakuumlösung verwendet gehört.

Unterscheidend,

Folgende Benutzer bedankten sich: Merilix

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 21:03 #51190

Yukterez schrieb: Es gibt genug horizontüberschreitende Koordinaten (Raindrop, Finkelstein etc),

Reichen die auch in unsere (also beobachtbare) Gegenwart?

Yukterez schrieb: und in den externen Bezugssystemen wo am Horizont eine Koordinatensingularität auftritt bleibt der kollabierende Stern aufgrund der Zeitdilatation sowieso immer ein bisschen größer als sein Schwarzschildradius,

In einem anderen Thread wurde/wird ein Schalenmodell diskutiert mit dem ich mich ganz gut anfreunden kann (vor einiger Zeit hatte ich das selbst diskutiert -- wenn auch wenig mathematisch untermauert)
Aber:

Yukterez schrieb: weswegen aus diesem Bezugssystem heraus beschrieben für das Innere auch die innere und nicht die Vakuumlösung verwendet gehört.

Ich sehe da einen sehr schmalen Grat zwischen Physik (empirisch) und Mathematik (abstrakt logisch). Darauf zu balancieren ist recht interessant aber ist die Grenze immer leicht zu ziehen?

Danke jedenfalls für Deinen Einwand. Den habe ich (im positiven Sinne) sogar erwartet. :)

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Schwarzschildradius 21 Apr 2019 20:12 #51215

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Ich habe meine Sicht auf die Dinge mittlerweise ein bißchen geändert.

Meine Überlegungen basierten darauf, dass Schwarzschild einerseits ausdrücklich davon sprach, dass die Metrik aufgrund von Stetigkeitsbedingungen
nur direkt an der Massensingulariät divergieren kann, ansonsten überall stetig sein muss, was sich ja mit der Vorstellung eines Horizonts, der räumlich
von der Massen-Singularität getrennt ist, nicht verträgt, und anderseits auch darauf, dass er bei seinen Ableitung eine Koordinatentransformation gemacht hat:
mit r² = x² + y² + z². R³ = r³ + a³
(@Yukterez: wenn man eine Koordinatentransformation durchführt, so dass im Linienelement dr durch dR ersetzt wird,
dann ist R nicht nur eine Hilfsgröße sondern eine neue Koordinate)

Das ist soweit auch nicht falsch, was ich aber nicht hinreichend beachtet habe, ist, dass die ART ein kovarianter Formalismus ist.
Insofern sind sowieso nur Skalare, deren Werte von der Wahl der Koordinaten unabhängig sind, physikalisch relevant. Um richtig zu
rechnen muss man noch nicht mal unbedingt wissen wie die Koordinaten ursprünglich definiert wurden. Insofern ist es unerheblich ob,
die Koordinaten, die in der Schwarzschild-Metrik vorkommen, gewöhnliche Kugelkoordinaten oder modifizierte Kugelkoordinaten sind.
Insofern könnte man auch sagen, dass alles was bisher gesagt wurde, physikalisch irrelevant ist.
(Kein Wunder, dass mich keiner versteht).

Wenn man aber eine anschauliche Vorstellung von den Dingen entwickeln will, dann kommt man aber nicht darum herum auch Größen zu interpretieren
die keine Skalare sind, und in diesem Fall ist mehr oder weniger alles von der Wahl der Koordinaten abhängig.

Ich denke, dass ist es bezüglich der Schwarzschildmetrik zwei mögliche Sichtweisen gibt, die im Hinblick auf Messgrößen aber gleich sind:

1. Man interpretiert die Koordinaten der Schwarzschild-Metrik als modifizierte Kugelkoordinaten (R³ = r³ + a³). In diesem Fall definiert die
Gleichung R=a dieselbe Hyperfläche wie die Gleichung r=0, das heißt, dass das "Loch" inklusive Ereignishorizont punktförmig ist.
Was aber nicht heißt, dass es Beobachtern punktförmig erscheint. Um die scheinbare Größe zu berechnen, müsste man im Zweifelsfall
Lichtbahnen berechnen, was aber völlig unabhängig von irgendwelchen Interpretationen ist.

2. Man interpretiert die Koordinaten der Schwarzschild-Metrik als gewöhnliche Kugelkoordinaten (R² = x² + y² + z²). Dann beschreibt
die Gleichung R=a die Oberfläche einer Kugel mit Koordinatenradius a. Allerdings ist diese Fläche dann immer noch die Grenzfläche
zwischen Materie und Vakuum. Das heißt, die Schwarzschildmetrik beschreibt den Außenbereich einer (eingefrorenen) Hohlkugel, die die selbe Masse hat, wie
die Punktmasse unter 1. Die Metrik ist aber auch hier nur für R>a definiert.

Es ist jetzt aber so, dass die Metrik in beiden Fällen die gleiche Form hat. Das muss man wohl so interpretieren, dass Astronomen gar nicht
feststellen könnten, ob sie eine Massensingularität oder eingefrorene Hohlkugel beobachten. Insofern ist es letztlich eine reine
Geschmacksfrage ob man "schwarze Löcher" als Massenpunkte oder als Hohlkugeln beschreibt, zumindest solange die Verhältnisse statisch
sind.

Allerdings ist es nicht möglich diese Sichtweisen zu vermischen. Wenn man ausdrücklich von einem Massenpunkt ausgeht, und die
Koordinaten in der Schwarzschildmetrik dann trotzdem als gewöhnliche Kugelkoordinaten interpretiert, bekommt man ein Szenario, in dem die
RR-Komponente des metrischen Tensors bei R=a divergiert, obwohl die nächste Unstetigkeit der Massenverteilung weit weg ist.
Und es kann mir keiner erzählen, dass diese Metrik den Einstein'schen Feldgleichung genügt, die ja ein System von Partiellen
Differential-Gleichungen sind. Da gehe ich konform mit Schwarzschild: wenn die Metrik irgendwo unstetig sein kann, dann nur
dort wo die "Quelle" des Feldes "extrem" ist.

Spruch:

Die Antwort ist 42 - wenn Du die dazugehörige Frage finden willst,
musst Du nach der Definition der verwendeten Koordinaten suchen,
es sei denn "42" wäre ein Skalar - das nennt man Relativität.

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Schwarzschildradius 21 Apr 2019 20:47 #51217

Ein paar Zeilen weiter unten schreibt Schwarzschild doch:

Die strenge Lösung lehrt, daß in Wirklichkeit bei der Fortsetzung der Näherungen die Unstetigkeit nicht im Nullpunkt, sondern an der Stelle r=³(α³-ρ) liegt ...
Man müßte bei der Annäherung nach Potenzen von α und ρ das Gesetz der Koeffizienten schon sehr gut überblicken, um die Notwendigkeit dieser Bindung zwischen α und ρ zu erkennen.


Sieht so aus, als ob das in dieser Arbeit nicht die endgültige Lösung war. Soweit ich sehe, wollte Schwarzschild die Unstetigkeit ins Zentrum verlagern.

bro schrieb: Skriptum_siehe-seite_107

Da sehe ich eine Ungenauigkeit auf Seite 116:
Der Gravitationsradius rG=M und rs=2M ist nicht dasselbe, wie es dort dargestellt wird.

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Schwarzschildradius 21 Apr 2019 22:20 #51222

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Schwarzschild schrieb:

Die strenge Lösung lehrt, daß in Wirklichkeit bei der Fortsetzung der Näherungen die Unstetigkeit nicht im Nullpunkt, sondern an der Stelle
r = ( α 3 − ρ ) eintritt, und daß man gerade
ρ = α ³ setzen muß, damit die Unstetigkeit in den Nullpunkt rückt
.


Damit sagt er, dass Einsteins Näherungen zu einem falschen Ergebnis führen, weil die Unstetigkeit nämlich in Wirklichkeit im Nullpunkt liegt.
Und genau das drückt seine Formel 14 aus!

Er wollte die Unstetigkeit nicht verschieben. Er hat es getan!

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Schwarzschildradius 21 Apr 2019 22:30 #51223

Das Problem ist, dass in Eigenlängen r gerechnet wurde, das ist nicht so ganz einfach. R ist aber der Koordinatenradius. (Schwarzschilds Arbeit)

Siehe das Skript Braunschweig Seite 117 ... in der üblichen Ausdrucksweise "keine unmittelbare physikalische Bedeutung"

insbesondere r,t haben keine unmittelbare physikalische Bedeutung
t wird Koordinatenzeit genannt im Unterschied zur Eigenzeit τ eines im Gravitationsfeld...
r ist radiale Koordinate aber nicht der Radius; r = const ist Oberfläche einer Kugel mit dem Wert 4πr² ...

Wenn man überlegt, was dort passiert, ist Schwarzschilds r wichtig, wenn man es nur von außen betrachtet, ist r richtig (Schwarzschilds R).

Für mich ist das die ausschlaggebende physikalische Bedeutung. Ich habe nämlich nicht vor, es mir aus der Nähe anzusehen. Das Schöne ist, dass sich alle über den Umfang 2πr einig sind bzw die Oberfläche 4πr².

Bei anderen Autoren (zB Boyer-Lindquist) ist das noch komplizierter.

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