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THEMA: Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel)

Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel) 05 Feb 2019 12:04 #48357

Man mache bei Geogebraonline folgende Angaben:
www.geogebra.org/classic
a=Schieberegler[-5, 5, 0.01, 1, 200, false, true, false, false]
b=Schieberegler[-5, 5, 0.01, 1, 200, false, true, false, false]
c=Schieberegler[-5, 5, 0.01, 1, 200, false, true, false, false]
y = a x² + b x + c
x_1=(-b - sqrt(b² - 4ac)) / (2a)
x_2=(-b + sqrt(b² - 4ac)) / (2a)

Sobald wir a=0 setzen, ermittelt das Programm keine Nullstelle und das obwohl wir eine Gerade haben, welche die x-Achse schneidet.

Was müssen wir nun mit den beiden letzten Gleichungen anstellen, damit auch bei a=0 eine Lösung angezeigt wird?

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Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel) 05 Feb 2019 13:24 #48365

julian apostata schrieb: Sobald wir a=0 setzen, ermittelt das Programm keine Nullstelle und das obwohl wir eine Gerade haben, welche die x-Achse schneidet

Ich denke, das sieht jeder spätestens auf den zweiten Blick.

Bei der zweiten Frage bin ich mir nicht so klar, was erlaubt ist. Ich würde die Skalierung ändern.

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Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel) 06 Feb 2019 12:39 #48411

Die Schulversion der Mitternachtsformel bringt natürlich keine Lösung, weil bei a=0 die 0 im Nenner steht und eine Division durch 0 ist bekanntlich nicht erlaubt.

Also tricksen wir ein wenig herum und stürzen den Bruch und ersetzen im Zähler das a durch c.

x_1=2c / (-b - sqrt(b² - 4ac))
x_2=2c / (-b + sqrt(b² - 4ac))

Probiert es aus und ihr werdet feststellen, dass diese Alternativversion genau die selben Ergebnisse bringt, wie die Schulversion. Außer bei a=0. Da liefert die Schulversion kein Ergebnis, die Alternativversion hingegen schon.

Aber wo bleibt der mathematische Beweis?

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Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel) 07 Feb 2019 12:31 #48462

Noch ein kleiner Tipp. Um meine Behauptung zu beweisen, braucht man folgende binomische Formel:

(a+b)*(a-b)=a²-b²

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Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel) 07 Feb 2019 21:27 #48519

Hallo,

die beiden Lösungen sind nicht ganz aquivalent.
Im ersten Fall darf a nicht 0 sein.

Im zweiten Fall darf (-b - sqrt(b² - 4ac)) bzw. (-b + sqrt(b² - 4ac)) nicht 0 sein.

Nehmen wir an dass (-b + sqrt(b² - 4ac)) nicht 0 ist

Dann haben wir x_1=(-b - sqrt(b² - 4ac)) / (2a) = ((-b - sqrt(b² - 4ac)) / (2a)) *1 =
((-b - sqrt(b² - 4ac)) / (2a)) *((-b + sqrt(b² - 4ac))/(-b + sqrt(b² - 4ac))) = ((-b - sqrt(b² - 4ac))*(-b + sqrt(b² - 4ac)))/(2a*(-b + sqrt(b² - 4ac))) = (b²-(b² - 4ac))/(2a*(-b + sqrt(b² - 4ac))) = (4ac))/(2a*(-b + sqrt(b² - 4ac))) = 2c / (-b + sqrt(b² - 4ac))

Du hast also auch die Variablen vertauscht.

MfG
egonotto
Folgende Benutzer bedankten sich: ra-raisch

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Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel) 08 Feb 2019 12:44 #48546

@egonotto
x_1=2c / (-b - sqrt(b² - 4ac))
x_2=2c / (-b + sqrt(b² - 4ac))

Es sei a=0. Daraus ergibt sich:
x_1=2c/(-2b)=-c/b
x_2=2c/0

x_1 liefert also die richtige Lösung.
Bei der Schulversion erhalte ich weder für x_1 noch für x_2 eine Lösung.

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Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel) 08 Feb 2019 13:08 #48548

julian apostata schrieb: Probiert es aus und ihr werdet feststellen, dass diese Alternativversion genau die selben Ergebnisse bringt, wie die Schulversion. Außer bei a=0. Da liefert die Schulversion kein Ergebnis, die Alternativversion hingegen schon.

Dafür fehlt bei c=0 die Lösung
x_1 = -b/a

egonotto schrieb: die beiden Lösungen sind nicht ganz aquivalent.

Wenn Du die beiden "Lösungen" (Std. und Julians) vergleichst, erhältst Du, unter Verwendung umgekehrter Vorzeichen der Wurzel

julian apostata schrieb: Aber wo bleibt der mathematische Beweis?

4ac = -(b² -(b²+4ac))
Das würde schon stimmen, sehr clever.
.....jetzt verstehe ich auch Deinen Lösungstip :)

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Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel) 09 Feb 2019 11:49 #48600

ra-raisch schrieb: Dafür fehlt bei c=0 die Lösung
x_1 = -b/a



Okay. das stimmt. Wenn mir das schon vorher aufgefallen wäre, dann hätte ich das Thema womöglich gar nicht erst veröffentlicht.

Aber es kann Fälle geben, wo man das c (falls <>0) im Zähler haben will, so wie bei der Ableitung des relativistischen Impulses über den unelastischen Stoß.

mahag.com/neufor/download/file.php?id=4987

Der blaue Kasten (welcher in S' ruht) ist im Bildschirmsystem S mit der Geschwindigkeit u unterwegs. Das heißt: Die rechte Masse bewegt sich vor dem Stoß ebenfalls mit u im System S'. Sowohl linke als auch rechte Masse betreten gleichzeitig bei t'=0 die Kastenwand und treffen sich zum Zeitpunkt t'=2 in der Kastenmitte.

Das heißt aber auch, dass die linke Masse in S' die selbe Geschwindigkeit haben muss, wie die rechte Masse. Und da es sich um identische Massen handelt, ruhen beide nach dem Stoß in S'.

In S schaut es so aus: Die linke Masse war vorher mit der relativistischen doppelten Geschwindigkeit v=2*u/(1+u²/c²) unterwegs.

Also: (v/c²)*u²-2u+v=0
a=v/c² u=_2 c=v

Mit der alternativen Mitternachtsformel erhält man:

u=v/[1 plusminus sqrt(1-v²/c²)] wobei nur die Lösung
u=v/[1+sqrt(1-v²/c²)] Sinn ergibt.

Die Impulsgleichung (M = "relativistische Masse" vor dem Stoß) schaut dann so aus

M*v=(M+m)*v/[1+sqrt(1-v²/c²)] ergo
M=m/sqrt(1-v²/c²)

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Kleines Matherätsel (alternative Mitternachtsformel) 09 Feb 2019 13:03 #48604

julian apostata schrieb: a=v/c² u=_2 c=v

Was ist das denn?

Der Ausgangspunkt Schwerpunktsystem und das Ergebnis M=m/sqrt(1-v²/c²) ist ja beides nichts Neues. Nach Verwendung der relativistischen Addition sollte auch nicht verwundern, dass das Ergebnis richtig herauskommt.

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